Một công ty đấu thầu hai dự án. Khả năng thắng thầu các dự án lần lượt là \(0,4\)và \(0,5\). Khả năng thắng thầu cả hai dự án là \(0,3\). Gọi \(A,B\)lần lượt là biến cố thắng thầu dự án 1 và dự án 2.

a) Ta có \(P\left( A \right).P\left( B \right) = 0,4.0,5 = 0,2 \ne 0,3 = P\left( {AB} \right)\).

b) Xác suất để công ty thắng thầu dự án 2 khi đã biết thắng dự án 1 là \(P\left( {B\backslash A} \right)\)

 Ta có \(P\left( {B\backslash A} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0,3}}{{0,4}} = 0,75\).

c) Xác suất để công ty thắng thầu dự án 2 khi đã biết điều kiện không thắng dự án 1 là:\(P\left( {B\backslash \overline A } \right) = \frac{{P\left( {\overline A B} \right)}}{{P\left( {\overline A } \right)}}\)

Vì hai biến cố \(\overline A B\) và \(A\overline B \) xung khắc nhau và \(\overline A B \cup A\overline B  = B\) nên theo tính chất của xác suất ta có

\(P\left( {\overline A B} \right) = P\left( B \right) - P\left( {AB} \right)\).

Suy ra  \(P\left( {B\backslash \overline A } \right) = \frac{{P\left( {\overline A B} \right)}}{{P\left( {\overline A } \right)}} = \frac{{P\left( B \right) - P\left( {AB} \right)}}{{1 - P\left( A \right)}} = \frac{{0,5 - 0,3}}{{1 - 0,4}} = \frac{1}{3}\).

d) Xác suất để công ty thắng thầu đúng 1 dự án là \(P\left( {A\overline B  + \overline A B} \right)\)

Vì hai biến cố \(\overline A B\) và \(A\overline B \) xung khắc nhau nên \(P\left( {A\overline B  + \overline A B} \right) = P\left( {A\overline B } \right) + P\left( {\overline A B} \right)\).

Vì hai biến cố \(\overline A B\) và \(AB\) xung khắc nhau và \(\overline A B \cup AB = B\) nên theo tính chất của xác suất ta có

\(P\left( {\overline A B} \right) = P\left( B \right) - P\left( {AB} \right)\begin{array}{*{20}{c}}{}&{\left( 1 \right)}\end{array}\).

Vì hai biến cố \(A\overline B \) và \(AB\) xung khắc nhau và \({\rm{A}}\overline B  \cup AB = A\) nên theo tính chất của xác suất ta có

\(P\left( {A\overline B } \right) = P\left( A \right) - P\left( {AB} \right)\begin{array}{*{20}{c}}{}&{\left( 2 \right)}\end{array}\).

Từ \(\left( 1 \right)\)và \(\left( 2 \right)\)ta được như sau: