Cho hai biến cố \(A\) và \(B\) với \(0 < P\left( B \right) < 1\). Khẳng định nào sau đây là đúng?

Gọi \[A\] là biến cố lấy được bi xanh từ hộp thứ nhất

a) Đúng. Ta có: \[P\left( A \right) = \frac{3}{8}\].

b) Sai. Ta có \[\overline A \] là biến cố lấy được bi vàng từ hộp thứ nhất, ta có: \[P\left( {\overline A } \right) = \frac{5}{8}\].

c) Đúng.

Gọi \[{B_1}\] là biến cố lấy được 2 bi khác màu từ hộp thứ hai. Ta có:

\[P\left( {{B_1}|A} \right) = \frac{{C_4^1.C_6^1 + C_4^1.C_3^1 + C_3^1.C_6^1}}{{C_{13}^2}} = \frac{9}{{13}}\].

d) Sai.

Gọi \[{B_2}\] là biến cố lấy được 2 bi vàng từ hộp thứ hai. Ta có:

Gọi \(A\) là biến cố “Lấy được hai viên bi đỏ từ hộp thứ nhất” và \(B\) là biến cố “Lấy được hai viên bi đỏ từ hộp thứ hai”.

Gọi \(C\) là biến cố “Lấy được 1 viên bi đỏ và 1 viên bi xanh từ hộp thứ nhất” và \(D\) là biến cố “Lấy được 1 viên bi đỏ và 1 viên bi xanh từ hộp thứ hai”.

Ta có: \(P\left( A \right) = \frac{{C_5^2}}{{C_6^2}} = \frac{2}{3}\);  \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{C_7^2}}{{C_{10}^2}} = \frac{7}{{15}}\); \(P\left( C \right) = \frac{{C_1^1C_5^1}}{{C_6^2}} = \frac{1}{3}\); \(P\left( {D|C} \right) = \frac{{C_4^1C_6^1}}{{C_{10}^2}} = \frac{8}{{15}}\).

Suy ra \(P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) = \frac{1}{3}\); \(P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{{C_6^2}}{{C_{10}^2}} = \frac{1}{3}\); \(P\left( {\overline C } \right) = 1 - P\left( C \right) = \frac{2}{3}\); \(P\left( {D|\overline C } \right) = \frac{{C_3^1C_7^1}}{{C_{10}^2}} = \frac{7}{{15}}\)

a) Đúng.

\(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{2}{3}.\frac{7}{{15}} + \frac{1}{3}.\frac{1}{3} = \frac{{19}}{{45}}.\)

b) Sai.

\(P\left( D \right) = P\left( C \right).P\left( {D|C} \right) + P\left( {\overline C } \right).P\left( {D|\overline C } \right) = \frac{1}{3}.\frac{8}{{15}} + \frac{2}{3}.\frac{7}{{15}} = \frac{{22}}{{45}}.\)

c) Đúng.

Áp dụng công thức Bayes ta có \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{2}{3}.\frac{7}{{15}}:\frac{{19}}{{45}} = \frac{{14}}{{19}}\).

d) Sai.