Được biết có \(5\% \) đàn ông bị mù màu, và \(0,25\% \) phụ nữ bị mù màu (Nguồn: F. M. Dekking et al., A modern introduction to probability and statistics – Understanding why and how, Springer, 2005). Giả sử số đàn ông bằng số phụ nữ. Chon một người bị mù màu. Xác suất để người đó là đàn ông là bao nhiêu?

Gọi \[{K_1}\]:  “Bi lấy ra từ hộp II là bi của hộp \[I\]”

\[{K_2}\]: “Bi lấy ra từ hộp \[II\] là bi của hộp \[II\]”

\[A\]: “Lấy được bi trắng”

a) Ta có : \[P\left( {{K_1}} \right)\, = \,\frac{{C_2^1}}{{C_{12}^1}}\, = \,\frac{1}{6}\];  \[P\left( {{K_2}} \right)\, = \,\frac{{C_{10}^1}}{{C_{12}^1}}\, = \,\frac{5}{6}\].

\[P\left( {A|{K_1}} \right)\, = \,\frac{{C_5^1}}{{C_{10}^1}}\, = \,\frac{1}{2}\];  \[P\left( {A|{K_2}} \right)\, = \,\frac{{C_6^1}}{{C_{10}^1}}\, = \,\frac{3}{5}\].

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có xác suất để lấy được bi trắng là:

\[P\left( A \right)\, = \,P\left( {{K_1}} \right).P\left( {A|{K_1}} \right)\, + P\left( {{K_2}} \right).P\left( {A|{K_2}} \right)\, = \,\frac{1}{6}.\frac{1}{2}\, + \,\frac{5}{6}.\frac{3}{5} = \frac{7}{{12}} \simeq \,0,58\].

b) Áp dụng công thức Bayes, xác suất để lấy được bi trắng của hộp \[I\] là: 

Gọi \(A\) là biến cố “Người đó bị nhiễm Virus”.

\(B\) là biến cố “Người đó cho kết quả dương tính”.

Xét nghiệm Covid – 19 cho kết quả dương tính với \(90\% \) các trường hợp thực sự nhiễm virus\(P\left( {B|A} \right) = 0,9\).

Xét nghiệm Covid – 19 cho kết quả âm tính với \(80\% \) các trường hợp thực sự không nhiễm virus, nên cho kết quả dương tính với \(20\% \) các trường hợp không thực sự nhiễm virus  \(P\left( {B|\bar A} \right) = 0,2\)

\(P\left( A \right) = 0,01 \Rightarrow P\left( {\bar A} \right) = 0,99\)

Do đó xác suất để người đó cho kết quả dương tính là:

\(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\bar A} \right).P\left( {B|\bar A} \right) = 0,01.0,9 + 0,99.0,2 = 0,207\)

Xác suất để người nhiễm virus cho kết quả dương tính là:

\(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,01.0,9}}{{0,207}} = \frac{1}{{23}}\)

Vậy \(a = 1,b = 23 \Rightarrow a + b = 24\).