Một hộp có 80 viên bi, trong đó có 50 viên bi màu đỏ và 30 viên bi màu vàng; các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau. Sau khi kiểm tra, người ta thấy có 90% số viên bi màu đỏ được đánh số và 50% số viên bi màu vàng được đánh số, những viên bi còn lại không đánh số. Lấy ra ngẫu nhiên một viên bi trong hộp. Tính xác suất để viên bi được lấy ra có đánh số (kết quả để dưới dạng số thập phân và làm tròn đến hàng phần trăm) .

Gọi \[{K_1}\]:  “Bi lấy ra từ hộp II là bi của hộp \[I\]”

\[{K_2}\]: “Bi lấy ra từ hộp \[II\] là bi của hộp \[II\]”

\[A\]: “Lấy được bi trắng”

a) Ta có : \[P\left( {{K_1}} \right)\, = \,\frac{{C_2^1}}{{C_{12}^1}}\, = \,\frac{1}{6}\];  \[P\left( {{K_2}} \right)\, = \,\frac{{C_{10}^1}}{{C_{12}^1}}\, = \,\frac{5}{6}\].

\[P\left( {A|{K_1}} \right)\, = \,\frac{{C_5^1}}{{C_{10}^1}}\, = \,\frac{1}{2}\];  \[P\left( {A|{K_2}} \right)\, = \,\frac{{C_6^1}}{{C_{10}^1}}\, = \,\frac{3}{5}\].

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có xác suất để lấy được bi trắng là:

\[P\left( A \right)\, = \,P\left( {{K_1}} \right).P\left( {A|{K_1}} \right)\, + P\left( {{K_2}} \right).P\left( {A|{K_2}} \right)\, = \,\frac{1}{6}.\frac{1}{2}\, + \,\frac{5}{6}.\frac{3}{5} = \frac{7}{{12}} \simeq \,0,58\].

b) Áp dụng công thức Bayes, xác suất để lấy được bi trắng của hộp \[I\] là: 

Gọi \[A\]  là biến cố “viên bi được lấy ra có đánh số”

Gọi \[B\]  là biến cố “viên bi được lấy ra có màu đỏ”, suy ra \[\bar B\]  là biến cố “viên bi được lấy ra có màu vàng”,

a) Đúng

\[P\left( {A|\bar B} \right) = 60\%  = 0,6\]

b) Sai

\[P\left( {A|B} \right) = 80\%  = 0,8\], nên \(P\left( {\overline A |B} \right) = 1 - P\left( {A|B} \right) = 1 - 0,8 = 0,2\).

c) Sai

Ta có: \[P\left( B \right) = \frac{{30}}{{50}} = 0,6\]; \[P\left( {\bar B} \right) = \frac{{20}}{{50}} = 0,4\]

Vậy \[P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\bar B} \right).P\left( {A|\bar B} \right) = 0,6.0,8 + 0,4.0,6 = 0,72\]

d) Đúng