Cho hàm số \(y = f(x) = a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + dx + e\) có đạo hàm \(f'(x)\) và đồ thị hàm số \(y = f'(x)\) cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ \( - 1;0;2\) như hình bên. Hỏi hàm số \(y = f(x)\) đồng biến trên khoảng nào sau đây?

Chọn D

Hàm số \(y = f(x)\) đồng biến khi và chỉ khi đạo hàm \(f'(x) > 0\).

Ta cần dựa vào đồ thị của hàm số \(y = f'(x)\) để xác định các khoảng mà \(f'(x) > 0\).

Từ đồ thị, ta thấy rằng đồ thị của \(y = f'(x)\) cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ \(x = - 1,x = 0,x = 2\). Đây là các nghiệm của phương trình \(f'(x) = 0\).

Quan sát dấu của \(f'(x)\) trên các khoảng:

- Trên khoảng \(( - \infty , - 1)\): Đồ thị \(f'(x)\) nằm phía dưới trục hoành, tức là \(f'(x) < 0\). Do đó, \(f(x)\) nghịch biến trên khoảng này.

- Trên khoảng \(( - 1,0)\): Đồ thị \(f'(x)\) nằm phía trên trục hoành, tức là \(f'(x) > 0\). Do đó, \(f(x)\) đồng biến trên khoảng này.

- Trên khoảng \((0,2)\): Đồ thị \(f'(x)\) nằm phía dưới trục hoành, tức là \(f'(x) < 0\). Do đó, \(f(x)\) nghịch biến trên khoảng này.

- Trên khoảng \((2, + \infty )\): Đồ thị \(f'(x)\) nằm phía trên trục hoành, tức là \(f'(x) > 0\). Do đó, \(f(x)\) đồng biến trên khoảng này.

Vậy, hàm số \(y = f(x)\) đồng biến trên các khoảng \(( - 1,0)\) và \((2, + \infty )\).