Đồ thị hàm số \[y = \frac{{{x^3}\left( {\sqrt {{x^2} - 4} + x} \right)}}{{2{x^3} + 3{x^2} - 3x - 2}}\]có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?

Đáp án: 2.

                 

Tập xác định \[D = \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left[ {2; + \infty } \right)\].

Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{{x^3}\left( {\sqrt {{x^2} - 4} + x} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = - \infty \] nên đường thẳng \[x = - 2\] là tiệm cận đứng.

Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {x.\frac{{\sqrt {1 - \frac{4}{{{x^2}}}} + 1}}{{2 + \frac{3}{x} - \frac{3}{{{x^2}}} - \frac{2}{{{x^3}}}}}} \right) = + \infty \] nên đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang khi \[x \to + \infty \].

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 4{x^3}}}{{\left( {2{x^3} + 3{x^2} - 3x - 2} \right)\left( {\sqrt {{x^2} - 4} - x} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\frac{{ - 4}}{x}}}{{\left( {2 + \frac{3}{x} - \frac{3}{{{x^2}}} - \frac{2}{{{x^3}}}} \right)\left( { - \sqrt {1 - \frac{4}{{{x^2}}}} - 1} \right)}} = 0\]

Suy ra đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận ngang \[y = 0\].

Vậy đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận.