[MĐ4] Công tử Bạc Liêu có một mảnh đất hình vuông ở một khu đô thị sầm uất, hình vuông có cạnh \(40{\rm{ m}}\), công tử dự định xây một hồ bơi được giới hạn bởi cạnh \(AB\) của hình vuông và một parabol đi qua hai đầu mút cạnh đó, đỉnh của parabol cách cạnh \(AB\) một đoạn \(10{\rm{ m}}\). Từ vị trí \(O\) là trung điểm \[AB,\] kẻ tia \(Ot\) bất kì cắt parabol và một cạnh khác của hình vuông theo thứ tự tại các điểm \(M,N\). Gọi \(P\) là trung điểm \[MN,\]khi tia \(Ot\) quay quanh gốc \(O\) thì tập hợp các điểm \(P\) tạo thành đường cong \((L)\). Công tử dự định sử dụng một loại gạch men đặc biệt để lát nền cho toàn bộ khu vực được giới hạn bởi đường cong \((L)\) và parabol. Phần còn lại trên mảnh đất hình vuông đó thì công tử sẽ trồng cỏ.

Biết rằng chi phí xây hồ bơi là \(5\) triệu đồng/\({m^2}\), chi phí lát gạch men là \(2\) triệu đồng/\({m^2}\), chi phí trồng cỏ tự nhiên là \(100\)nghìn đồng/\({m^2}\). Tính tổng số tiền mà công tử Bạc Liêu phải chi trả cho toàn bộ dự án trên theo đơn vị tỷ đồng (làm tròn đến hàng phần chục).

a) Gọi \(y = f\left( x \right)\)\( = a{x^2} + bx + c\).

Parabol cắt trục tung tại điểm \(\left( {0;0,5} \right)\) và đỉnh \(I\left( {0,75;0,2} \right)\)

Ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}c = 0,5\\a{\left( {0,75} \right)^2} + b.0,75 + c = 0,2\\ - \frac{b}{{2a}} = 0,75\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = \frac{1}{2}\\\frac{{9a}}{{16}} + \frac{{3b}}{4} + c = \frac{1}{5}\\3a + 2b = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{8}{{15}}\\b = - \frac{4}{5}\\c = \frac{1}{2}\end{array} \right.\).

Suy ra: \(f\left( x \right) = \frac{8}{{15}}{x^2} - \frac{4}{5}x + \frac{1}{2}\). Mệnh đề a) đúng.

b) Thể tích của chậu nước bằng

\(V = \pi \int\limits_0^{1,5} {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}{\rm{d}}x} \)\( = \pi \int\limits_0^{1,5} {{{\left[ {\frac{8}{{15}}{x^2} - \frac{4}{5}x + \frac{1}{2}} \right]}^2}{\rm{d}}x} \)\( \approx 0,4618141201 \approx 0,5\). Mệnh đề b) đúng.

c) Tốc độ bơm nước vào bể \(5\) lít/phút \( = 5\,d{m^3}\)/phút \( = {5.10^{ - 3}}\,{m^3}\)/phút

Thể tích nước bơm sau \(1,5\) giờ \( = 1,5 \times 60 = 90\) phút là \({5.10^{ - 3}} \times 90 = 0,45 \approx 0,5\,\,{m^3}\). Mệnh đề c) đúng.

d) Gọi \(h\) là độ cao của nước trong chậu sau khi bơm được \(t\) phút.

Ta có: \({V_h} = \pi \int\limits_0^h {{{\left( {\frac{8}{{15}}{x^2} - \frac{4}{5}x + \frac{1}{2}} \right)}^2}{\rm{d}}x} \)\( = \pi \left( {\frac{{64}}{{1125}}{h^5} - \frac{{16}}{{75}}{h^4} + \frac{{88}}{{225}}{h^3} - \frac{2}{5}{h^2} + \frac{1}{4}h} \right)\) \({m^3}\).

Thể tích nước bơm sau \(t\) phút là \(V = 0,005t\,{m^3}\)

Khi đó: \(\pi \left( {\frac{{64}}{{1125}}{h^5} - \frac{{16}}{{75}}{h^4} + \frac{{88}}{{225}}{h^3} - \frac{2}{5}{h^2} + \frac{1}{4}h} \right) = 0,005t\)        \(\left( * \right)\).

Tại thời điểm \(t = 20\) ta có: \(\pi \left( {\frac{{64}}{{1125}}{h^5} - \frac{{16}}{{75}}{h^4} + \frac{{88}}{{225}}{h^3} - \frac{2}{5}{h^2} + \frac{1}{4}h} \right) = 0,1\)\( \Rightarrow {h_0} \approx 0,1640803548\).

Đạo hàm theo biến \(t\) hai vế của \(\left( * \right)\) ta được:\(\left( {\frac{{64}}{{225}}{h^4} - \frac{{64}}{{75}}{h^3} + \frac{{264}}{{225}}{h^2} - \frac{4}{5}h + \frac{1}{4}} \right)h'\left( t \right) = \frac{{0,005}}{\pi }\)

Tốc độ dâng lên của nước

        \(v\left( t \right) = h'\left( t \right) = \frac{{0,005}}{{\pi \left( {\frac{{64}}{{225}}{h^4} - \frac{{64}}{{75}}{h^3} + \frac{{264}}{{225}}{h^2} - \frac{4}{5}h + \frac{1}{4}} \right)}}\)  

Tại thời điểm \(t = 20\),\({h_0} \approx 0,1640803548\) tốc độ dâng của nước là:

        \(v\left( {20} \right) = h'\left( {20} \right) = \frac{{0,005}}{{\pi \left( {\frac{{64}}{{225}}h_0^4 - \frac{{64}}{{75}}h_0^3 + \frac{{264}}{{225}}h_0^2 - \frac{4}{5}{h_0} + \frac{1}{4}} \right)}}\)

Đáp án: 1127.

Vì đường đi chỉ sang phải có 9 cách, và chỉ đi xuống có 5 cách, nên số cách đi từ \(A\) đến \(B\) là

\(C_{14}^5 = 2002\)cách.

Số cách đi sang phải từ \(A\) đến \(E\) là 4 cách và số cách đi xuống từ \(A\) đến \(E\) là 3 cách nên số cách đi từ \(A\) đến \(E\) là \(C_7^3 = 35\) cách.

Số cách đi sang phải từ \(E\) đến \(B\) là 5 cách và số cách đi xuống từ \(E\) đến \(B\) là 2 cách nên số cách đi từ \(E\) đến \(B\) là \(C_7^5 = 21\) cách.

\( \Rightarrow \)số cách đi từ \(A\) đến \(E\) rồi đến \(B\) là \(35.21 = 735\).

Số cách đi sang phải từ \(A\) đến \(M\) là 6 cách và sô cách đi xuống từ \(A\) đến \(M\) là 1 cách nên số cách đi từ \(A\) đến \(M\) là \(C_7^1 = 7\) cách.

Đi từ \(M\) đi xuống \(N\) có 1 cách.

Số cách đi sang phải từ \(N\) đến \(B\) là 3 cách và sô cách đi xuống từ \(N\) đến \(B\) là 3 cách nên số cách đi từ \(N\) đến \(B\) là \(C_6^3 = 20\) cách.

\( \Rightarrow \)số cách đi từ \(A\) đến \(M\) rồi \(N\) rồi đến \(B\) là \(7.1.20 = 140\).

\( \Rightarrow \)Số cách đi từ \(A\) đến \(B\) của bé cún là \(2002 - 735 - 140 = 1127\) cách.