[MĐ4] Công tử Bạc Liêu có một mảnh đất hình vuông ở một khu đô thị sầm uất, hình vuông có cạnh \(40{\rm{ m}}\), công tử dự định xây một hồ bơi được giới hạn bởi cạnh \(AB\) của hình vuông và một parabol đi qua hai đầu mút cạnh đó, đỉnh của parabol cách cạnh \(AB\) một đoạn \(10{\rm{ m}}\). Từ vị trí \(O\) là trung điểm \[AB,\] kẻ tia \(Ot\) bất kì cắt parabol và một cạnh khác của hình vuông theo thứ tự tại các điểm \(M,N\). Gọi \(P\) là trung điểm \[MN,\]khi tia \(Ot\) quay quanh gốc \(O\) thì tập hợp các điểm \(P\) tạo thành đường cong \((L)\). Công tử dự định sử dụng một loại gạch men đặc biệt để lát nền cho toàn bộ khu vực được giới hạn bởi đường cong \((L)\) và parabol. Phần còn lại trên mảnh đất hình vuông đó thì công tử sẽ trồng cỏ.

Biết rằng chi phí xây hồ bơi là \(5\) triệu đồng/\({m^2}\), chi phí lát gạch men là \(2\) triệu đồng/\({m^2}\), chi phí trồng cỏ tự nhiên là \(100\)nghìn đồng/\({m^2}\). Tính tổng số tiền mà công tử Bạc Liêu phải chi trả cho toàn bộ dự án trên theo đơn vị tỷ đồng (làm tròn đến hàng phần chục).

Gán hệ trục tọa độ như hình vẽ. Ta dễ dàng tìm được \((P):y = - \frac{1}{{40}}{x^2} + 10\).

Diện tích hồ bơi là: \({S_b} = 2\int\limits_0^{20} {\left( { - \frac{1}{{40}}{x^2} + 10} \right)} = \frac{{800}}{3}\).

Gọi \(\alpha \) là góc tạo bởi tia \(Ot\) và trục \(Ox\).

Lúc đó: \[M(OM\cos \alpha ;OM{\rm{ sin}}\alpha {\rm{)}}\]. Vì \[M \in \left( P \right)\]\( \Rightarrow OM{\rm{ sin}}\alpha = \frac{{ - 1}}{{40}}{\left( {OM{\rm{ cos}}\alpha } \right)^2} + 10\).

\[ \Rightarrow O{M^2}{\rm{ }}{\left( {{\rm{cos}}\alpha } \right)^2} + 40OM{\rm{ sin}}\alpha - 400 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}OM = \frac{{ - 20\sin \alpha - 20}}{{{{\left( {{\rm{cos}}\alpha } \right)}^2}}}\\OM = \frac{{ - 20\sin \alpha + 20}}{{{{\left( {{\rm{cos}}\alpha } \right)}^2}}}\end{array} \right.\].

Ta chọn \(OM = \frac{{20 - 20\sin \alpha }}{{{{\left( {{\rm{cos}}\alpha } \right)}^2}}} = \frac{{20}}{{1 + \sin \alpha }}\).

TH1: \(\alpha \in \left[ {0,\arctan 2} \right] \Rightarrow ON = \frac{{20}}{{{\rm{cos}}\alpha }}\). Suy ra: \(OP = \frac{{OM + ON}}{2} = \frac{{10}}{{1 + \sin \alpha }} + \frac{{10}}{{{\rm{cos}}\alpha }}\).

TH2: \(\alpha \in \left[ {\arctan 2,\frac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow ON = \frac{{40}}{{{\rm{sin}}\alpha }}\). Suy ra: \(OP = \frac{{OM + ON}}{2} = \frac{{10}}{{1 + \sin \alpha }} + \frac{{20}}{{{\rm{sin}}\alpha }}\).

\[{S_{(L)}} = 2\left[ {\frac{1}{2}\int\limits_0^{\arctan 2} {{{\left( {\frac{{10}}{{1 + \sin \alpha }} + \frac{{10}}{{{\rm{cos}}\alpha }}} \right)}^2}} {\rm{d}}\alpha + \frac{1}{2}\int\limits_{\arctan 2}^{\frac{\pi }{2}} {{{\left( {\frac{{10}}{{1 + \sin \alpha }} + \frac{{20}}{{{\rm{sin}}\alpha }}} \right)}^2}} {\rm{d}}\alpha } \right] = 756,3({m^2})\].

Tổng chi phí:

\(5.{S_b} + 2.\left( {{S_L} - {S_b}} \right) + 0,1\left( {{S_V} - {S_L}} \right) = 5.\frac{{800}}{3} + 2.\left( {756,3 - \frac{{800}}{3}} \right) + 0,1\left( {1600 - 756,3} \right) = 2396,97 \approx 2,4\)tỉ.

Lưu ý: Ở trên ta sử dụng công thức của bổ đề sau:

Cho một đương cong ( \(L\) ) có phương trình trong hệ tọa độ cực là \(r = r\left( \theta \right)\), với \(\alpha \le \theta \le \beta \). Tính diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi đường cong \(\left( L \right)\) và hai tia \(\theta = \alpha ,\theta = \beta \).

\(S = \int_\alpha ^\beta {\frac{1}{2}} {[r(\theta )]^2}d\theta \).