Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = \frac{1}{4}\) và \(d = - \frac{1}{4}\). Gọi \({S_5}\) là tổng 5 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Gọi các đỉnh của đoạn dây điện như ở hình vẽ này:

Trải tường chứa \(A\); tường chứa \(B\);các mặt của cột lên mặt phẳng \(Oyz\) ta có hình vẽ sau:

Ta nhận thấy như sau: Khi trải phẳng hình như trên; độ dài của đoạn dây điện vẫn được bảo toàn; đồng thời nhìn vào hình vẽ trên ta thấy được độ dài đoạn dây điện sẽ lớn hơn hoặc bằng độ dài đoạn \(AB\) khi trải hình như trên. Như vậy; ta đi tính độ dài đoạn \(AB\) khi trai hình như trên.

Lấy \(O'\) là hình chiếu của \(A\) lên \({B_1}{D_1}.\) \(P\) là hình chiếu của \(B\) lên \({F_1}{G_1}.\)

Khi đó \(AO'\) ở hình vẽ trên cũng chính bằng khoảng cách từ điểm \(A\) của đề lên \(Oy\) và nó cũng bằng \(2,5\). Tương tự \(BP = 1\).

\(O'{B_1}\) sẽ bằng khoảng cách từ \(A\) đến \(Oz\) và bằng \(1\). Tương tự \({F_1}P = 0,5.\)

Ta có độ dài \({B_1}{F_1} = {A_1}{I_1} + {I_1}{J_1} + {J_1}{K_1} + {K_1}{L_1} + {L_1}{E_1} = 4 + 0,2.2 = 4,4 \Rightarrow O'P = 1,5 + 4,4 = 5,9\).

Do đó nên theo định lý Pytago ta có \(AB = \sqrt {O'{P^2} + {{\left( {AO' - BP} \right)}^2}} \approx 6,09\).

Vậy nên độ dài đoạn dây điện tối thiểu xấp xỉ \(6,09\;\)m.

Đáp số: \(0,66\).

Số cách chọn của Hải là: \(n(H) = C_9^3 = 84\).

Số cách chọn của Sơn là: \(n(S) = C_8^3 = 56\).

Do đó: \(n(\Omega ) = 84 \times 56 = 4704\).

Ta thấy nếu số của Hải lớn hơn số của Sơn thì xảy ra trong hai trường hợp sau:

*Trường hợp 1: Hải chọn được quả bóng số 9

Nếu Hải chọn được bóng số 9, số của Hải chắc chắn bắt đầu bằng chữ số 9 (dạng 9bc)

Do đó, hễ Hải có số 9 là Hải chắc chắn thắng.

Số cách Hải chọn có số 9 là: \(1 \times C_8^2 = 28\) cách.

Với mỗi cách này, Sơn có thể chọn bất kỳ trong 56 cách.

Số kết quả thuận lợi ở TH1: \(28 \times 56 = 1568\).

*Trường hợp 2: Hải không chọn được quả bóng số 9

Lúc này, cả Hải và Sơn đều chọn 3 bóng từ cùng một tập số \(\{ 1,2, \ldots ,8\} \).

Số cặp kết quả trong trường hợp này là: \(C_8^3 \times C_8^3 = 56 \times 56 = 3136\).

Vì tập số của hai bạn là như nhau, nên theo tính đối xứng, số trường hợp Hải thắng (\(X > Y\)) sẽ bằng số trường hợp Sơn thắng (\(X < Y\)).

Số trường hợp hòa (\(X = Y\)) xảy ra khi hai bạn chọn trùng bộ 3 quả bóng: có 56 trường hợp.

Số kết quả Hải thắng (Sơn thua) ở TH2 là: \({n_2} = \frac{{3136 - 56}}{2} = 1540\)

Tổng số trường hợp thuận lợi để Sơn thua là: \(n(A) = 1568 + 1540 = 3108\)

Xác suất để Sơn thua là: \(P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{3108}}{{4704}} \approx 0,66\).