Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A\), cạnh \(AB = a\), các cạnh bên \(SA = SB = SC = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\). Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC\).

(a) [NB] Xét \(\Delta \,ABC\) vuông cân tại \(A\), nên có \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = a\sqrt 2 \), và \(HA = HB = HC = \frac{{BC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\). Do đó \(H\) là tâm đường trong ngoại tiếp \(\Delta \,ABC\).

Hình chóp \(S.ABC\) có \(SA = SB = SC\), nên hình chiếu của \(S\)lên đáy là tâm của đường tròn ngoại tiếp \(\Delta \,ABC\). Suy ra \(SH \bot \left( {ABC} \right)\). Vậy (a) đúng.

(b) [TH] Xét \(\Delta \,ABC\) vuông tại \(A\), có \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}.AB.AC = \frac{{{a^2}}}{2}\)

Xét \(\Delta \,SAH\) vuông tại \(H\) có \(SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 6 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = a\)

Vậy thể tích khối chóp \(\,S.ABC\) là: \({V_{SABC}} = \frac{1}{3}.{S_{\Delta ABC}}.SH = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}}}{2}.a = \frac{{{a^3}}}{6}\)\(\)(đvtt)

Vậy (b) Sai.

(c) [TH] Vì \(SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SH \bot AH \Rightarrow \overrightarrow {SH} .\overrightarrow {AH} = 0\)

Vì \(\,\,\Delta ABC\) vuông cân tại \(A \Rightarrow AH \bot BC \Rightarrow \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {HB} = 0\)

Tính \(\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {SB} = \overrightarrow {AH} .\left( {\overrightarrow {SH} + \overrightarrow {HB} } \right) = \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {SH} + \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {HB} = 0 \Rightarrow \)\(AH \bot SB\).

Vậy (c) đúng.

(d) [TH] Khoảng cách từ điểm \(C\)đến mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) bằng \(\frac{{2\sqrt 5 }}{5}a\).

Trong \(\Delta \,ABC\) kẻ \(HK \bot AB\), suy ra \(HK{\rm{//}}AC\), vậy \(HK\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\), nên \(HK = \frac{{AC}}{2} = \frac{a}{2}\).

Khi đó có \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot HK\\AB \bot SH\,\,\,\left( {do\,\,\,SH \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow AB \bot \left( {SHK} \right)\).

Trong \(\Delta SHK\) kẻ \(HI \bot SK\, \Rightarrow \,HI \bot AB\). Vậy \(HI \bot \left( {SAB} \right)\).

Do đó \(d\left( {H,\left( {SAB} \right)} \right) = HI = \frac{{HK.HS}}{{\sqrt {H{K^2} + H{S^2}} }} = \frac{{\frac{a}{2}.a}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {a^2}} }} = \frac{{a\sqrt 5 }}{5}\).

Vì \(H\) là trung điểm của \(BC\), nên \(d\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right) = 2.d\left( {H,\left( {SAB} \right)} \right) = 2.HI = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\)

Vậy (d) đúng.