Một trang trại rau sạch mỗi ngày thu hoạch được 1 tấn rau. Mỗi ngày, nếu trang trại bán với giá bán rau là 30 000 đồng/kg thì bán hết rau, nếu giá bán rau tăng 1 000 đồng/kg thì số rau thừa tăng 20 kg. Số rau thừa này được thu mua hết để làm thức ăn chăn nuôi với giá 2 000 đồng/kg. Hỏi để mỗi ngày thu được số tiền bán rau lớn nhất thì trang trại đó nên bán rau với giá bao nhiêu nghìn đồng?

Đáp án: \(23,4\).

Xét hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) trong đó \(S\)  là đỉnh của hình lập phương nằm bên trong ly nước và \(A,\,B,\,C\) là các điểm chung của hình lập phương với miệng ly; \(O\) là trọng tâm tam giác \(ABC\)và \(H\) là trung điểm \(BC\).

Đặt \(x\)(cm) là cạnh đáy hình chóp thì \(AO = \frac{2}{3}AH = \frac{2}{3} \cdot \frac{{x\sqrt 3 }}{2} = \frac{{x\sqrt 3 }}{3}\).

Vì hình chóp \[S.ABC\]có\[SA\], \[SB\], \[SC\]bằng nhau và đôi một vuông góc tại đỉnh \[S\] nên độ dài cạnh \(SA = SB = SC = \frac{x}{{\sqrt 2 }}\).

Từ đó suy ra \(SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}} = \sqrt {\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{{x^2}}}{3}} = \frac{{x\sqrt 6 }}{6}\).

Theo giả thiết thì chiều cao hình chóp S.ABC bằng \(\frac{1}{3}\) chiều cao ly nước: \(SO = \frac{1}{3}.9 = 3\)(cm).

Suy ra chiều dài cạnh đáy của hình chóp: \(\frac{{x\sqrt 6 }}{6} = 3 \Rightarrow x = 3\sqrt 6 \)(cm).

Vậy thể tích nước tràn ra bằng với thể tích khối chóp \(S.ABC\).

Thể tích đó là: \(V = \frac{1}{3}SO.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.3.\frac{{{{\left( {3\sqrt 6 } \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{27\sqrt 3 }}{2} \approx 23,4\)(cm³).

Gọi biến cố A: “An làm đúng mỗi câu đề ôn tập ở mức độ dễ” \( \Rightarrow P(A) = 0,8\).

Biến cố B: “An làm đúng mỗi câu đề ôn tập ở mức độ trung bình” \( \Rightarrow P(B) = 0,6\).

Biến cố C: “An làm đúng mỗi câu đề ôn tập ở mức độ khó” \( \Rightarrow P(C) = 0,15\).

a) Sai. Xác suất để An làm ba câu thuộc ba loại và đúng cả ba câu là

\(P\left( {ABC} \right) = 0,8 \times 0,6 \times 0,15 = 0,072 = 7,2\% \).

b) Sai. Khi An làm 3 câu thuộc ba loại khác nhau. Xác suất để An làm đúng 2 trong số 3 câu là

\(P\left( {AB\overline C \cup A\overline B C \cup \overline A BC} \right) = 0,8 \times 0,6 \times 0,85 + 0,8 \times 0,4 \times 0,15 + 0,2 \times 0,6 \times 0,15 = 0,474\).

c) Đúng. Xác suất để An làm đúng 3 câu đủ ba loại là \(0,072\).

Xác suất để An làm sai 3 câu ở mức độ trung bình là \(0,4 \times 0,4 \times 0,4 = 0,064 < 0,072\).