Cho lăng trụ đều \[ABC.A'B'C'\], có \[AA' = 3a,AB = a\]. Khi đó, côsin của góc giữa hai vectơ \[\overrightarrow {AB'} \] và \[\overrightarrow {A'C} \] bằng

Cho hình lăng trụ \[ABC.A'B'C'\] có \[A'A = A'B = A'C\], cạnh bên \[AA' = 4\], đáy \[ABC\] là tam giác đều. Biết mặt phẳng \[\left( {BCC'B'} \right)\] tạo với mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] một góc \[{60^ \circ }\]. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng bao nhiêu?

Cho đa giác đều 36 đỉnh \[{A_1}{A_2}...{A_{36}}\] nội tiếp đường tròn tâm \[O\]. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh trong số các đỉnh \[{A_1},{A_2},...,{A_{36}}\] của đa giác đã cho, biết xác suất để chọn được ba đỉnh tạo thành một tam giác có một góc bằng \[120^\circ \] là \[P\]. Giá trị của biểu thức \[595P\] bằng bao nhiêu?

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật tâm \(O\) với \(AB = 6,AD = 8\). Biết \(SO\) vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\) và \(SA\) tạo với mặt phẳng \((ABCD)\) một góc \({45^\circ }\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(SA\). Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SC\) và \(DM\) bằng \(\frac{{120}}{{\sqrt n }}\), giá trị của \(n\) bằng bao nhiêu? 

Bác An có một cửa hàng chuyên bán buôn bưởi Đoan Hùng, bác nhận thấy rằng: Nếu bán mỗi kilogram bưởi với giá 30 nghìn đồng thì mỗi tuần có 60 đơn hàng và mỗi đơn hàng mua 100 kilogram. Nếu cứ tăng giá mỗi kilogram bưởi thêm 2 nghìn đồng thì hàng tuần số đơn hàng giảm 4 đơn, đồng thời số lượng bưởi mà mỗi đơn hàng đặt mua cũng giảm đi 2 kilogram. Hỏi bác cần bán mỗi kilogram bưởi với giá bao nhiêu nghìn đồng để lợi nhuận hàng tuần thu được là lớn nhất, biết giá nhập mỗi kilogram bưởi là 24 nghìn đồng và giá bán không vượt quá 50 nghìn đồng/1kg. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Tại một khu bảo tồn thiên nhiên, các nhà khoa học đã thả một số cá thể của một loài động vật quý hiếm trong một khu rừng rộng 10 hecta và theo dõi sự tăng trưởng số lượng của chúng. Họ thấy rằng số lượng cá thể của loài động vật đó sau \(t\) năm kể từ khi nuôi tại khu bảo tồn được xấp xỉ bởi hàm số \(h\left( t \right) = 70{\log _2}\left( {\frac{{8t + 1}}{{t + 1}}} \right) + 30\) (\(t\) là số thực dương) và tốc độ tăng trưởng số lượng cá thể của loài động vật đó tại thời điểm sau đúng \(t\) năm kể từ khi nuôi được xấp xỉ bởi hàm số \(h'\left( t \right)\)(đơn vị: cá thể /năm).

Huyết áp là áp lực của máu tác động lên thành động mạch khi tim bơm máu vào động mạch. Giả sử trong một giai đoạn vận động thể thao, huyết áp của một người thay đổi theo thời gian được cho bởi hàm số \(p\left( t \right) = 100 + 20\cos \left( {120\pi t} \right)\), trong đó \(p\left( t \right)\) là huyết áp tính theo đơn vị mmHg phụ thuộc vào thời gian \(t\) tính theo phút. Trong 10 phút tính từ thời điểm ban đầu khi \(t = 0\), có bao nhiêu lần huyết áp của người này đạt mức 90 mmHg?