Ba bạn Hường; Huệ; Hà đi từ ba vị trí \(A;\,\,B;\,\,C\) đến trường. Bạn nào đến trường sớm hơn nếu ba bạn cùng khởi hành một lúc và đi theo con đường đã vạch màu đỏ.?

a) Vì tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) nên \(AB = AC\)(1).

Vì \(BD\); \(CE\) là đường trung tuyến nên \(D\) là trung điểm của \(AC\) và \(E\) là trung điểm của \(AB\).

Do đó, \(AE = EB = \frac{1}{2}AB;\,\,AD = DC = \frac{1}{2}AC\) (2)

Từ (1); (2) ta suy ra \(AE = EB = AD = DC\).

Xét \(\Delta BEC\) và \(\Delta CDB\) có:

\(BE = DC\) (chứng minh trên)

Cạnh \(BC\) chung

\(\widehat {EBC} = \widehat {DCB}\) (do \(\Delta ABC\) cân tại \(A\))

Do đó, \(\Delta BEC = \Delta CDB\) (g.c.g)

Suy ra \(BD = CE\) (hai cạnh tương ứng)  (3)

Vì \(G\) là trong tâm tam giác \(ABC\) nên \[BG = \frac{2}{3}BD;\,\,CG = \frac{2}{3}CE\] (4)

Từ (3), (4) suy ra \(GB = GC\).

b) \(P\) là điểm nằm trong tam giác \(ABC\), đường thẳng \(BP\) cắt \(AC\) tại \(N\):

Ta có: \(AB + AC = AB + AN + NC = \left( {AB + AN} \right) + NC\) (5)

Xét tam giác \(ABN\) có: \(AB + AN > NB\) (bất đẳng thức tam giác)

Suy ra, \(AB + AN > BP + PN\) (do \(NB = BP + PN\))

Do đó, \(AB + AN + NC > BP + PN + NC\) (6)

Từ (5) và (6) suy ra: \(AB + AC > BP + PN + NC = BP + \left( {PN + NC} \right)\)

Hay \(AB + AC > BP + PC\). Mà tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) nên \(AB = AC\).

Do đó, \(2AB > PB + PC\).