Cho tam giác \(ABC\) có \(BD\) và \(CE\) là đường trung tuyến cắt nhau tại \(G\). Biết \(BD = CE\).

a) Chứng minh \(BG = CG;\,\,DG = GE\).

b) Chứng minh tam giác \(ABC\) cân.

Khối lượng của 10 cái bánh chưng là:

\(10\,\,.\,\,0,75 = 7,5\) (kg).

Gọi \(x,\,\,y\) (kg) lần lượt là khối lượng gạo nếp và đậu xanh cần để gói 10 cái bánh chưng  \(\left( {0 < x,\,\,y < 7,5} \right)\).

Tỉ số giữa khối lượng gạo nếp và đậu xanh của bánh chưng là:

\(\frac{x}{y} = \frac{{0,6}}{{0,15}} = \frac{4}{1}\) hay \(\frac{x}{4} = \frac{y}{1}\).

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{x}{4} = \frac{y}{1} = \frac{{x + y}}{{4 + 1}} = \frac{{7,5}}{5} = 1,5\).

Suy ra \(x = 1,5\,\,.\,\,4 = 6;\,\,y = 1,5\,\,.\,\,1 = 1,5\) (thỏa mãn).

Cứ 1 kg gạo nếp sau khi ngâm nặng khoảng 1,5 kg; 1 kg đậu xanh sau khi ngâm và nấu chín được khoảng 1,5 kg. Khi đó:

• Khối lượng gạo nếp cần là: \(6:1,5 = 4\) (kg);

• Khối lượng gạo nếp cần là: \(1,5:1,5 = 1\) (kg)

Vậy để làm 10 cái bánh chưng thì bạn Dương cần 4 kg gạo và 1 kg đậu xanh.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\[\frac{{3a + 2b + c}}{{a + 2b - c}} = \frac{{3a - 2b + c}}{{a - 2b - c}}\,\, = \frac{{\left( {3a + 2b + c} \right) - \left( {3a - 2b + c} \right)}}{{\left( {a + 2b - c} \right) - \left( {a - 2b - c} \right)}}\]

\[ = \frac{{3a + 2b + c - 3a + 2b - c}}{{a + 2b - c - a + 2b + c}} = \frac{{\left( {3a - 3a} \right) + \left( {2b + 2b} \right) + \left( {c - c} \right)}}{{\left( {a - a} \right) + \left( {2b + 2b} \right) + \left( {c - c} \right)}} = \frac{{4b}}{{4b}} = 1\,\,(b \ne 0)\].

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}3a + 2b + c = a + 2b - c\\3a - 2b + c = a - 2b - c\end{array} \right.\)

Suy ra \(\left( {3a + 2b + c} \right) + \left( {3a - 2b + c} \right) = \left( {a + 2b - c} \right) + \left( {a - 2b - c} \right)\)

\(3a + 2b + c + 3a - 2b + c = a + 2b - c + a - 2b - c\)

\(\left( {3a + 3a} \right) + \left( {2b - 2b} \right) + \left( {c + c} \right) = \left( {a + a} \right) + \left( {2b - 2b} \right) - \left( {c + c} \right)\)

\(6a + 2c = 2a - 2c\)

\(6a - 2a + 2c + 2c = 0\)

\(4a + 4c = 0\)

Do đó \(a + c = 0\) (đpcm).