Sử dụng tính chất của hàm lôgarít, hàm mũ so sánh các cặp số. Vậy:

a) Xét hàm số \(y = {\log _2}x\) có cơ số \(2 > 1\) nên hàm số đồng biến trên khoảng \((0; + \infty )\).

Mặt khác \(3 > \frac{5}{2}\) nên \({\log _2}3 > {\log _2}\frac{5}{2}\).

b) Xét hàm số \(y = {\log _{\frac{1}{e}}}x\) có cơ số \(\frac{1}{e} \in (0;1)\) nên hàm số nghịch biến trên khoảng \((0; + \infty )\).

Mặt khác \(2 > \frac{5}{4}\) nên \({\log _{\frac{1}{e}}}2 < {\log _{\frac{1}{e}}}\frac{5}{4}\).

c) Xét hàm số \(y = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x}\) có cơ số \(\frac{1}{3} \in (0;1)\) nên hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

Mặt khác \(4000 > 3999\) nên \(\frac{1}{{{3^{4000}}}} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{4000}} < {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{3999}} = \frac{1}{{{3^{3999}}}}\).

d) Xét hàm số \(y = {\pi ^x}\) có cơ số \(\pi  > 1\) nên hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).