Cho phương trình \({\log _5}\sqrt {{x^2} - 3x + 21}  = 1\) (*), biết phương trình có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\,\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\). Khi đó:

Dân số đạt gấp đôi nghĩa là \(S = 2A\), ta có:

\(2A = A \cdot {e^{1,13\% .t}} \Leftrightarrow {e^{1,13\% .t}} = 2 \Leftrightarrow 1,13\% .t = {\ln _e}2 \Leftrightarrow t = \frac{{\ln 2}}{{1,13\% }} \approx 61,34{\rm{ (do }}e > 1{\rm{ )}}{\rm{. }}\)

Vậy sau 62 năm tức đến năm 2085 thì dân số ở địa phương đó sẽ gấp đôi dân số năm 2023.

Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 3x + 2 > 0}\\{2x - 4 > 0}\end{array}} \right.\).\((*)\)

\(\begin{array}{l}\log \left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = 2{\log _{100}}(2x - 4) \Leftrightarrow \log \left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = \log (2x - 4)\\ \Rightarrow {x^2} - 3x + 2 = 2x - 4 \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{x = 3}\end{array}} \right.\end{array}\)

Thay lần lượt hai giá trị này vào \((*)\), ta thấy chỉ có giá trị \(x = 3\) thoả mãn.

Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 3\).