Số lượng của một loài vi khuẩn trong phòng thí nghiệm được tính theo công thức \(S(t) = A \cdot {e^{rt}}\), trong đó \(A\) là số lượng vi khuẩn ban đầu, \(S(t)\) là số lượng vi khuẩn có sau \(t\) (phút), \(r\) là tỉ lệ tăng trưởng \((r > 0),t\) (tính theo phút) là thời gian tăng trưởng. Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu có 500 con và sau 6 giờ có 2000 con. Hỏi ít nhất bao nhiêu giờ, kể từ lúc bắt đầu, số lượng vi khuẩn đạt ít nhất 120000 con?

Dân số đạt gấp đôi nghĩa là \(S = 2A\), ta có:

\(2A = A \cdot {e^{1,13\% .t}} \Leftrightarrow {e^{1,13\% .t}} = 2 \Leftrightarrow 1,13\% .t = {\ln _e}2 \Leftrightarrow t = \frac{{\ln 2}}{{1,13\% }} \approx 61,34{\rm{ (do }}e > 1{\rm{ )}}{\rm{. }}\)

Vậy sau 62 năm tức đến năm 2085 thì dân số ở địa phương đó sẽ gấp đôi dân số năm 2023.

Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 3x + 2 > 0}\\{2x - 4 > 0}\end{array}} \right.\).\((*)\)

\(\begin{array}{l}\log \left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = 2{\log _{100}}(2x - 4) \Leftrightarrow \log \left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = \log (2x - 4)\\ \Rightarrow {x^2} - 3x + 2 = 2x - 4 \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{x = 3}\end{array}} \right.\end{array}\)

Thay lần lượt hai giá trị này vào \((*)\), ta thấy chỉ có giá trị \(x = 3\) thoả mãn.

Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 3\).