Trong một trò chơi điện tử, máy bay xuất hiện ở góc trái màn hình rồi bay sang phải theo quỹ đạo \(\left( C \right)\) là đồ thị của hàm số \(y =  - 1 - \frac{1}{x},\left( {x > 0} \right)\). Biết rằng tên lửa được bắn ra từ máy bay tại một điểm thuộc \(\left( C \right)\) sẽ bay theo phương tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm đó. Tìm hoành độ \({x_0}\) thuộc \(\left( C \right)\) sao cho tên lửa bắn ra từ đó sẽ bắn trúng mục tiêu ở trên màn hình có tọa độ \(\left( {4,0} \right)\).

Với \({x_0} > 0\) tùy ý, ta có

\[f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{ - 1 - \frac{1}{x} - \left( { - 1 - \frac{1}{{{x_0}}}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{x - {x_0}}}{{x.{x_0}\left( {x - {x_0}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{1}{{x.{x_0}}} = \frac{1}{{x_0^2}}\].

Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm \({x_0}\) là \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0} = \frac{1}{{x_0^2}}\left( {x - {x_0}} \right) - 1 - \frac{1}{{{x_0}}}\).

Vì tiếp tuyến đi qua điểm \(\left( {4,0} \right)\) nên \(\frac{1}{{x_0^2}}\left( {4 - {x_0}} \right) - 1 - \frac{1}{{{x_0}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} =  - 1 + \sqrt 5 \\{x_0} =  - 1 - \sqrt 5 \end{array} \right.\).