Viết được phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 9}}{{x + 1}}\) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(d:x - 2y + 2 = 0\). Khi đó:

Đường thẳng \(d:x - 2y + 2 = 0 \Rightarrow y = \frac{1}{2}x + 1\) nên đường thẳng \(d\) có hệ số góc là \({k_d} = \frac{1}{2}\).

Tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc \(k\) vuông góc với đường thẳng \(d\)

\( \Rightarrow k \cdot {k_d} =  - 1 \Rightarrow k =  - \frac{1}{{{k_d}}} =  - 2.{\rm{ }}\)

Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình \({y^\prime } = k \Rightarrow \frac{{ - 8}}{{{{(x + 1)}^2}}} =  - 2 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{x =  - 3}\end{array}} \right.\).

Với \(x = 1\), phương trình tiếp tuyến là \(y =  - 2x + 7\).

Với \(x =  - 3\), phương trình tiếp tuyến là \(y =  - 2x - 9\).

Vậy có hai phương trình tiếp tuyến thỏa mãn là \({d_1}:y =  - 2x + 7;y =  - 2x - 9\).