Một vật được phóng theo phương thẳng đứng lên trên từ mặt đất, biết độ cao \(h\) của nó (tính bằng mét) sau \(t\) giây được cho bởi phương trình \(h(t) = 24,5t - 4,9{t^2}\). Tìm vận tốc của vật khi nó chạm đất.

Đường thẳng \(d:x - 2y + 2 = 0 \Rightarrow y = \frac{1}{2}x + 1\) nên đường thẳng \(d\) có hệ số góc là \({k_d} = \frac{1}{2}\).

Tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc \(k\) vuông góc với đường thẳng \(d\)

\( \Rightarrow k \cdot {k_d} =  - 1 \Rightarrow k =  - \frac{1}{{{k_d}}} =  - 2.{\rm{ }}\)

Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình \({y^\prime } = k \Rightarrow \frac{{ - 8}}{{{{(x + 1)}^2}}} =  - 2 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{x =  - 3}\end{array}} \right.\).

Với \(x = 1\), phương trình tiếp tuyến là \(y =  - 2x + 7\).

Với \(x =  - 3\), phương trình tiếp tuyến là \(y =  - 2x - 9\).

Vậy có hai phương trình tiếp tuyến thỏa mãn là \({d_1}:y =  - 2x + 7;y =  - 2x - 9\).

Với \({x_0} > 0\) tùy ý, ta có

\[f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{ - 1 - \frac{1}{x} - \left( { - 1 - \frac{1}{{{x_0}}}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{x - {x_0}}}{{x.{x_0}\left( {x - {x_0}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{1}{{x.{x_0}}} = \frac{1}{{x_0^2}}\].

Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm \({x_0}\) là \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0} = \frac{1}{{x_0^2}}\left( {x - {x_0}} \right) - 1 - \frac{1}{{{x_0}}}\).

Vì tiếp tuyến đi qua điểm \(\left( {4,0} \right)\) nên \(\frac{1}{{x_0^2}}\left( {4 - {x_0}} \right) - 1 - \frac{1}{{{x_0}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} =  - 1 + \sqrt 5 \\{x_0} =  - 1 - \sqrt 5 \end{array} \right.\).