Một vật được phóng theo phương thẳng đứng lên trên từ mặt đất, biết độ cao \(h\) của nó (tính bằng mét) sau \(t\) giây được cho bởi phương trình \(h(t) = 24,5t - 4,9{t^2}\). Tìm vận tốc của vật khi nó chạm đất.

Từ ví dụ 4, ta có: \({f^\prime }(x) = {\left( {\frac{2}{{1 - x}}} \right)^\prime } = \frac{2}{{{{(1 - x)}^2}}}\) nên tiếp tuyến của \((C)\) tại \(M\) có hệ số góc là: \({f^\prime }(3) = \frac{2}{{{{(1 - 3)}^2}}} = \frac{1}{2}\).

Phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại \(M\) là: \(y - ( - 1) = \frac{1}{2}(x - 3) \Leftrightarrow y = \frac{1}{2}x - \frac{5}{2}\).

Ta có: \(f(1) = 3;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} (2x + 1) = 3;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^2} + bx + 1} \right) = b + 2\).

Hàm số \(f(x)\) có đạo hàm tại \(x = 1\) thì \(f(x)\) liên tục tại \(x = 1\)

\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = f(1) \Rightarrow b + 2 = 3 \Rightarrow b = 1.{\rm{ }}\)Với \(b = 1\), thì \({f^\prime }\left( {{1^ + }} \right) = {f^\prime }\left( {{1^ - }} \right) = 3\).

Vậy \(b = 1\) thì hàm số đã cho có đạo hàm tại \(x = 1\).