Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình \(S =  - {t^3} + 3{t^2} + 9t\), trong đó \(t\) tính bằng giây và \(S\) tính bằng mét. Tính vận tốc của chuyển động tại thời điểm gia tốc triệt tiêu.

Đồ thị của vận tốc là một Parabol có phương trình \(v(t) = a{t^2} + bt + c\).

Trên hình vẽ đồ thị qua các điểm \((0;3),(2;9),(3;0)\) nên có hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4a + 2b = 6}\\{9a + 3b +  - 3}\\{c = 3}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a =  - 4}\\{b = 11}\\{c = 3}\end{array}} \right.} \right.\).

Do đó phương trình của vận tốc là \(v(t) =  - 4{t^2} + 11t + 3\).

Vậy gia tốc của chuyển động tại thời điểm \(t = 1(s)\) là: \(a(1) = {v^\prime }(1) = 3\)

Với \({x_0} = 0 \Rightarrow {y_0} = 1\)

Ta có \({f^\prime }(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2} + 3x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (x + 3) = 3\)

Vậy phương trình tiếp tuyến là: \(y = 3x + 1\)