Một chất điểm có phương trình chuyển động \(s\left( t \right) = \frac{{{t^3}}}{3} - 2{t^2} + 2t + 1\), trong đó \(t > 0\), \(t\) tính bằng giây, \(s\left( t \right)\) tính bằng mét. Tính gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm mà vận tốc tức thời của chất điểm bằng \(7\)m/s.

Đồ thị của vận tốc là một Parabol có phương trình \(v(t) = a{t^2} + bt + c\).

Trên hình vẽ đồ thị qua các điểm \((0;3),(2;9),(3;0)\) nên có hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4a + 2b = 6}\\{9a + 3b +  - 3}\\{c = 3}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a =  - 4}\\{b = 11}\\{c = 3}\end{array}} \right.} \right.\).

Do đó phương trình của vận tốc là \(v(t) =  - 4{t^2} + 11t + 3\).

Vậy gia tốc của chuyển động tại thời điểm \(t = 1(s)\) là: \(a(1) = {v^\prime }(1) = 3\)

Với \({x_0} = 0 \Rightarrow {y_0} = 1\)

Ta có \({f^\prime }(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2} + 3x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (x + 3) = 3\)

Vậy phương trình tiếp tuyến là: \(y = 3x + 1\)