Một con lắc lò xo dao động điều hoà theo phương ngang trên mặt phẳng không ma sát như hình vẽ sau.

Biết phương trình chuyển động của con lắc là \(x = 3\cos \pi t\), trong đó \(x\) tính bằng cm và \(t\) tính bằng giây. Hỏi tại thời điểm \(t = \frac{4}{3}\) (s) thì con lắc đang di chuyển nhanh dần hay chậm dần và theo hướng nào?

Ta có: \({s^\prime }(t) = 3{t^2} - 6t + 7\) và \({s^{\prime \prime }}(t) = 6t - 6\).

a) Vận tốc của vật tại thời điểm \(t = 2\) là: \(v(2) = {s^\prime }(2) = {3.2^2} - 6.2 + 7 = 7(\;m/s)\).

b) Gia tốc của vật tại thời điểm \(t = 2\) là: \(a(2) = {v^\prime }(2) = {s^{\prime \prime }}(2) = 6.2 - 6 = 6\left( {\;m/{s^2}} \right)\).

c) Vận tốc của chuyển động bằng \(16\;m/{s^2}\) tại thời điểm \(t\) nghĩa là:

\(v(t) = {s^\prime }(t) = 16{\rm{ }} \Leftrightarrow 3{t^2} - 6t + 7 = 16 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 3{\rm{ (tho\^u a ma\~o n) }}}\\{t =  - 1{\rm{ (loa\"i i) }}}\end{array}} \right.\)

Gia tốc của vật tại thời điểm \(t = 3\) là: \(a(3) = {v^\prime }(3) = {s^{\prime \prime }}(3) = 6.3 - 6 = 12\left( {\;m/{s^2}} \right)\).

d) Vận tốc của chuyển động có phương trình \(v(t) = 3{t^2} - 6t + 7\) là một parabol, có đỉnh \(S\left( { - \frac{b}{{2a}}; - \frac{\Delta }{{4a}}} \right) \Rightarrow S(1;4)\) và hệ số \(a = 3 > 0\) nên hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 4 tại \(t = 1\).

Giả sử số tiền người đó gửi vào ngân hàng là \(A\). Sau \(n\) năm số tiền người đó nhận được là \(2A\).

Áp dụng công thức \(S = A{e^{0,075t}}\) ta có \(2A \le A \cdot {e^{0,075t}}\)

\( \Leftrightarrow 0,075t \ge \ln 2 \Leftrightarrow t \ge  \approx 9,24\).

Người đó phải gửi ít nhất 10 năm thì số tiền thu được gấp đôi số tiền ban đầu.