Một con lắc lò xo dao động điều hoà theo phương ngang trên mặt phẳng không ma sát như hình vẽ sau.

Biết phương trình chuyển động của con lắc là \(x = 3\cos \pi t\), trong đó \(x\) tính bằng cm và \(t\) tính bằng giây. Hỏi tại thời điểm \(t = \frac{4}{3}\) (s) thì con lắc đang di chuyển nhanh dần hay chậm dần và theo hướng nào?

Ta có: \({s^\prime }(t) = 3{t^2} - 6t + 7\) và \({s^{\prime \prime }}(t) = 6t - 6\).

a) Vận tốc của vật tại thời điểm \(t = 2\) là: \(v(2) = {s^\prime }(2) = {3.2^2} - 6.2 + 7 = 7(\;m/s)\).

b) Gia tốc của vật tại thời điểm \(t = 2\) là: \(a(2) = {v^\prime }(2) = {s^{\prime \prime }}(2) = 6.2 - 6 = 6\left( {\;m/{s^2}} \right)\).

c) Vận tốc của chuyển động bằng \(16\;m/{s^2}\) tại thời điểm \(t\) nghĩa là:

\(v(t) = {s^\prime }(t) = 16{\rm{ }} \Leftrightarrow 3{t^2} - 6t + 7 = 16 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 3{\rm{ (tho\^u a ma\~o n) }}}\\{t =  - 1{\rm{ (loa\"i i) }}}\end{array}} \right.\)

Gia tốc của vật tại thời điểm \(t = 3\) là: \(a(3) = {v^\prime }(3) = {s^{\prime \prime }}(3) = 6.3 - 6 = 12\left( {\;m/{s^2}} \right)\).

d) Vận tốc của chuyển động có phương trình \(v(t) = 3{t^2} - 6t + 7\) là một parabol, có đỉnh \(S\left( { - \frac{b}{{2a}}; - \frac{\Delta }{{4a}}} \right) \Rightarrow S(1;4)\) và hệ số \(a = 3 > 0\) nên hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 4 tại \(t = 1\).

Chọn hệ trục \(Oxy\) sao cho \(O\) là trung điểm\(AB\), tia \(Ox\) trùng với tia \[OB,\] tia \(Oy\) hướng lên trên

(như hình vẽ).

Khi đó \[A\left( { - 200;0} \right),B\left( {200;0} \right).\] Gọi chiều cao giới hạn của cầu là \[h\left( {h > 0} \right),\] suy ra đỉnh cầu có tọa độ \[\left( {0;h} \right).\]

Gọi phương trình parabol của cầu là \(y = a{x^2} + bx + c\). Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{{2a}} = 0\\c = h\\{200^2}a + 200b + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 0\\c = h\\a = \frac{{ - h}}{{{{200}^2}}}\end{array} \right.\)

Ta tìm được phương trình parabol của cầu là \(y =  - \frac{h}{{{{200}^2}}}{x^2} + h\)

Ta có\(y' =  - \frac{{2h}}{{{{200}^2}}}x\). Nhận thấy hệ số góc của tiếp tuyến tại một điểm trên cầu xác định độ dốc của mặt cầu. Suy ra hệ số xác định độ dốc của mặt cầu là

\(k = y' =  - \frac{{2h}}{{{{200}^2}}}x\)\[, - 200 \le x \le 200\].

Do đó\(|k| = \frac{{2h}}{{{{200}^2}}}|x| \le \frac{{2h}}{{{{200}^2}}} \cdot 200 = \frac{h}{{100}}\). Vì độ dốc của cầu không quá ${10}^{°}$ nên ta có $\frac{h}{100}\le \tan {10}^{°}\iff h\le 17,6$

Vậy chiều cao giới hạn từ đỉnh cầu tới mặt đường là 17,6 m.