Người ta xây một cây cầu vượt giao thông hình parabol nối hai điểm có khoảng cách là \(400\)m (H.9.4). Độ dốc của mặt cầu không vượt quá \(10^\circ \) (độ dốc tại một điểm được xác định bởi góc giữa phương tiếp xúc với mặt cầu và phương ngang như hình 9.5). Tính chiều cao giới hạn từ đỉnh cầu đến mặt đường (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra Bài tập cuối chương 7 (có lời giải) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Chọn hệ trục \(Oxy\) sao cho \(O\) là trung điểm\(AB\), tia \(Ox\) trùng với tia \[OB,\] tia \(Oy\) hướng lên trên
(như hình vẽ).
Khi đó \[A\left( { - 200;0} \right),B\left( {200;0} \right).\] Gọi chiều cao giới hạn của cầu là \[h\left( {h > 0} \right),\] suy ra đỉnh cầu có tọa độ \[\left( {0;h} \right).\]
Gọi phương trình parabol của cầu là \(y = a{x^2} + bx + c\). Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{{2a}} = 0\\c = h\\{200^2}a + 200b + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 0\\c = h\\a = \frac{{ - h}}{{{{200}^2}}}\end{array} \right.\)
Ta tìm được phương trình parabol của cầu là \(y = - \frac{h}{{{{200}^2}}}{x^2} + h\)
Ta có\(y' = - \frac{{2h}}{{{{200}^2}}}x\). Nhận thấy hệ số góc của tiếp tuyến tại một điểm trên cầu xác định độ dốc của mặt cầu. Suy ra hệ số xác định độ dốc của mặt cầu là
\(k = y' = - \frac{{2h}}{{{{200}^2}}}x\)\[, - 200 \le x \le 200\].
Do đó\(|k| = \frac{{2h}}{{{{200}^2}}}|x| \le \frac{{2h}}{{{{200}^2}}} \cdot 200 = \frac{h}{{100}}\). Vì độ dốc của cầu không quá nên ta có
Vậy chiều cao giới hạn từ đỉnh cầu tới mặt đường là 17,6 m.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
a) Tốc độ của vật tại thời điểm \(t = 2\) là \(7(\;m/s)\)
b) Gia tốc của vật tại thời điểm \(t = 2\) là \(6\left( {\;m/{s^2}} \right)\)
c) Gia tốc của vật tại thời điểm mà vận tốc của chuyển động bằng \(16\;m/{s^2}\) là \(10\left( {\;m/{s^2}} \right)\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
|
a) Đúng |
b) Đúng |
c) Sai |
d) Đúng |
Ta có: \({s^\prime }(t) = 3{t^2} - 6t + 7\) và \({s^{\prime \prime }}(t) = 6t - 6\).
a) Vận tốc của vật tại thời điểm \(t = 2\) là: \(v(2) = {s^\prime }(2) = {3.2^2} - 6.2 + 7 = 7(\;m/s)\).
b) Gia tốc của vật tại thời điểm \(t = 2\) là: \(a(2) = {v^\prime }(2) = {s^{\prime \prime }}(2) = 6.2 - 6 = 6\left( {\;m/{s^2}} \right)\).
c) Vận tốc của chuyển động bằng \(16\;m/{s^2}\) tại thời điểm \(t\) nghĩa là:
\(v(t) = {s^\prime }(t) = 16{\rm{ }} \Leftrightarrow 3{t^2} - 6t + 7 = 16 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 3{\rm{ (tho\^u a ma\~o n) }}}\\{t = - 1{\rm{ (loa\"i i) }}}\end{array}} \right.\)
Gia tốc của vật tại thời điểm \(t = 3\) là: \(a(3) = {v^\prime }(3) = {s^{\prime \prime }}(3) = 6.3 - 6 = 12\left( {\;m/{s^2}} \right)\).
d) Vận tốc của chuyển động có phương trình \(v(t) = 3{t^2} - 6t + 7\) là một parabol, có đỉnh \(S\left( { - \frac{b}{{2a}}; - \frac{\Delta }{{4a}}} \right) \Rightarrow S(1;4)\) và hệ số \(a = 3 > 0\) nên hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 4 tại \(t = 1\).
Vậy tại thời điểm \(t = 1\) thì vận tốc của chuyển động đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(4(\;m/s)\).Câu 2
A. Con lắc di chuyển nhanh dần từ phải sang trái.
B. Con lắc di chuyển nhanh dần từ trái sang phải.
C. Con lắc di chuyển chậm dần từ trái sang phải.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Ta xác định hàm vận tốc và hàm gia tốc của con lắc:
\(\begin{array}{l}v\left( t \right) = x'\left( t \right) = - 3\pi \sin \pi t\\a\left( t \right) = x''\left( t \right) = - 3{\pi ^2}\cos \pi t\end{array}\)
Thời điểm \(t = \frac{4}{3}\) ta có
Gia tốc tức thời:\(a\left( {\frac{4}{3}} \right) = - 3{\pi ^2}\cos \frac{{4\pi }}{3} = \frac{{3{\pi ^2}}}{2} > 0\), do đó con lắc đang di chuyển nhanh dần.
Vận tốc tức thời: \(v\left( {\frac{4}{3}} \right) = - 3\pi \sin \frac{{4\pi }}{3} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\pi > 0\), do đó con lắc đang di chuyển cùng chiều dương, mà theo hình vẽ, chiều dương là chiều từ trái sang phải, do vậy con lắc di chuyển từ trái sang phải.Câu 3
a) \(y'\left( 1 \right) = - 31\)
b) Tổng các nghiệm của phương trình \(y' = 0\) bằng \( - 3\)
c) Đồ thị của hàm số \(y'\) đi qua điểm \(A\left( {0;7} \right)\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. \[y' = 2\cos 2x + 3\sin 6x\].
B. \[y' = 2\cos 2x - 3\sin 6x\].
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập