Cho tứ diện đều \(ABCD\) có các cạnh bằng \(a\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD\). Tìm góc giữa đường thẳng \(MN\) và \(BC\).

Gọi \(P\) là trung điểm của \(AC\)

Ta có: \(MP//BC \Rightarrow (MN,BC) = (MN,MP) = \widehat {PMN}\)

Ta có: \(\Delta ABN\) cân tại \(N\) có \[NM\] là trung tuyến nên là đường cao

\( \Rightarrow MN = \sqrt {B{N^2} - M{B^2}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt 2 }}{2}a\)

Xét \(\Delta MNP\) có: \(\cos \widehat {PMN} = \frac{{M{P^2} + M{N^2} - N{P^2}}}{{2 \cdot MP \cdot MN}} = \frac{{{{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}a} \right)}^2}}}{{2 \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2}a}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

Suy ra $\widehat{PMN}={45}^{°}$