Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\)cạnh \(a\), \(M\) là trung điểm cạnh \(CD\), \(\alpha \) là góc tạo bởi \(A'B\) và \(D'M\). Tính \({\mathop{\rm Cos}\nolimits} \alpha \)

Gọi \(P\) là trung điểm cạnh \(A{D^\prime }\).

Vì \(ABCD \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\) là hình lập phương cạnh \(a\) nên \(A{B^\prime } = {B^\prime }{D^\prime } = {D^\prime }A = a\sqrt 2 \).

Suy ra \(MN = NP = PM = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

$\Rightarrow (MN,BD)=(MN,NP)={60}^{°}$

Ta có: \(MN//{B^\prime }A,BD//{B^\prime }{D^\prime }\)\( \Rightarrow (MN,BD) = \left( {{B^\prime }A,{B^\prime }{D^\prime }} \right) = \widehat {A{B^\prime }{D^\prime }}\)

Ta có: \(\Delta A{B^\prime }{D^\prime }\) đều nên $\widehat{A{B}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}={60}^{°}$