Cho hình chóp \[S.ABCD\] có \[SA = SB = SC = SD\] và đáy là hình vuông \[ABCD\] có cạnh bằng \[a\]. Gọi \[M\] và \[N\] lần lượt là trung điểm của \[AD\] và \[SD\]. Biết số đo của góc giữa hai đường thẳng \[MN,\,\,SC\] bằng \[90^\circ \]. Tính độ dài cạnh \[SA\].

Vì \(CD//AB\)

\( \Rightarrow (SB,DC) = (SB,AB) = \widehat {SBA}\).

(\(\Delta SAB\) vuông tại \(A\) nên $\widehat{SAB} < {90}^{°}$

Xét \(\Delta SAB\) vuông tại \(A\), ta có:

\(\tan \widehat {SBA} = \frac{{SA}}{{AB}} = \frac{{\frac{{2a\sqrt 3 }}{3}}}{{2a}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)\$\Rightarrow \widehat{SBA}={30}^{°}$

Vậy $(SB,DC)=\widehat{SBA}={30}^{°}$

Gọi \(E\) là trung điểm của \(AB\).

Vì \(BE//CD,BE = CD = a\) nên \(BCDE\) là hình bình hành \( \Rightarrow DE//BC\).

Khi đó: \((SD,BC) = (SD,DE)\).

Ta có: \(S{E^2} = S{A^2} + A{E^2} = \frac{{4{a^2}}}{3} + {a^2} = \frac{{7{a^2}}}{3};S{D^2} = S{A^2} + A{D^2} = \frac{{7{a^2}}}{3}\);

\(D{E^2} = A{D^2} + A{E^2} = 2{a^2}\).

Suy ra \(SE = SD = \frac{{a\sqrt {21} }}{3},DE = a\sqrt 2 \).

Áp dụng định lí hàm côsin cho tam giác \(SDE\), ta được:

\(\cos \widehat {SDE} = \frac{{S{D^2} + D{E^2} - S{E^2}}}{{2SD \cdot DE}} = \frac{{2{a^2}}}{{2 \cdot \frac{{a\sqrt {21} }}{3} \cdot a\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt {42} }}{{14}} > 0 \Rightarrow \widehat {SDE}\) là góc nhọn.

Vậy \((SD,BC) = (SD,DE) = \widehat {SDE}\). Suy ra: $(SD,BC)=\widehat{SDE}\simeq 62,{42}^{°}$