Cho hình chóp \[S.ABCD\] có \[SA = SB = SC = SD\] và đáy là hình vuông \[ABCD\] có cạnh bằng \[a\]. Gọi \[M\] và \[N\] lần lượt là trung điểm của \[AD\] và \[SD\]. Biết số đo của góc giữa hai đường thẳng \[MN,\,\,SC\] bằng \[90^\circ \]. Tính độ dài cạnh \[SA\].

Ta có: \(MN//{B^\prime }A,BD//{B^\prime }{D^\prime }\)\( \Rightarrow (MN,BD) = \left( {{B^\prime }A,{B^\prime }{D^\prime }} \right) = \widehat {A{B^\prime }{D^\prime }}\)

Ta có: \(\Delta A{B^\prime }{D^\prime }\) đều nên $\widehat{A{B}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}={60}^{°}$

Gọi \(P\) là trung điểm cạnh \(A{D^\prime }\).

Vì \(ABCD \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\) là hình lập phương cạnh \(a\) nên \(A{B^\prime } = {B^\prime }{D^\prime } = {D^\prime }A = a\sqrt 2 \).

Suy ra \(MN = NP = PM = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

$\Rightarrow (MN,BD)=(MN,NP)={60}^{°}$