Cho tam giác \(ABC\) ba góc nhọn. Vẽ đoạn thẳng \(AM \bot AB\); \(AM = AB\) sao cho \(M\) và \(C\) khác phía đối với đường thẳng \(AB\). Vẽ đoạn thẳng \(AN \bot AC\) và \(AN = AC\) sao cho \(N\) và \(B\) khác phía đối với đường thẳng \(AC\). Gọi \(I,\,\,K\) lần lượt là trung điểm của \(BN\) và \(CM\). Chứng minh:

a) \(\Delta AMC = \Delta ABN\).

b) \(MC = BN\) và \(MC \bot BN\).

c) \(AI = AK\) và \(AI \bot AK\).

a) Vì \(AM \bot AB\) (giả thiết) nên \(\widehat {BAM} = 90^\circ \); \(AN \bot AC\) (giả thiết) nên \(\widehat {CAN} = 90^\circ .\)

Ta có \[\widehat {MAC} = \widehat {BAM} + {\widehat A_1} = 90^\circ  + {\widehat A_1}\];

\[\widehat {BAN} = \widehat {CAN} + {\widehat A_1} = 90^\circ  + {\widehat A_1}\].

Do đó \(\widehat {MAC} = \widehat {BAN}\).

Xét \(\Delta MAC\) và \(\Delta BAN\) có:

\(AM = AB\) (giả thiết)

\(AC = AN\) (giả thiết)

\(\widehat {MAC} = \widehat {BAN}\) (chứng minh trên)

Do đó \(\Delta MAC = \Delta BAN\) (c.g.c).

b) Gọi \(P\) là giao điểm của \(AB\) và \(CM\); \(O\) là giao điểm của \(BN\) và \(CM\).

Ta có \(\widehat {AMC} + \widehat {APM} = 90^\circ \) (vì \(\Delta AMP\) vuông tại \(A\))

Lại có \(\Delta MAC = \Delta BAN\) (chứng minh trên)

Suy ra \(\widehat {AMC} = \widehat {ABN}\) (hai góc tương ứng) hay \(\widehat {AMP} = \widehat {PBO}\)

Do đó \(\widehat {ABN} + \widehat {BPO} = 90^\circ \) hay \(BN \bot CM\).

c) Ta có \(K,\,\,I\) lần lượt là trung điểm của \(CM,\,\,BN\).

Mà \(CM = BN\) (chứng minh trên) nên \(MK = BI\).

Xét \(\Delta AMK\) và \(\Delta ABI\) có:

\[\widehat {AMK} = \widehat {ABN}\] (chứng minh trên)

\(AM = AB\) (chứng minh trên)

\(MK = BI\) (chứng minh trên)

Do đó \(\Delta AMK = \Delta ABI\) (c.g.c)

Suy ra \(AK = AI\) (hai cạnh tương ứng) và \(\widehat {MAK} = \widehat {BAI}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {MAK} + \widehat {KAB} = 90^\circ \) nên \(\widehat {BAI} + \widehat {KAB} = 90^\circ \) hay \(AI \bot AK\).