Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\)là hình thoi cạnh \(a\) tâm \(O\), \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\), \(SO = \frac{{a\sqrt 6 }}{3},\,OB = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\). Góc phẳng nhị diện \(\left[ {A,\,BC,\,S} \right]\) có số đo bằng

Ta có: \(SA \bot (ABCD) \Rightarrow AB\) là hình chiếu của \(SB\) trên mặt phẳng \((ABCD)\).

Vì vậy \((SB,(ABCD)) = (SB,AB) = \widehat {SBA}\).

Tam giác \(SAB\) vuông tại \(A\) có: $\tan \widehat{SBA}=\frac{SA}{AB}=\frac{a\sqrt{2}}{a}=\sqrt{2}\Rightarrow \widehat{SBA}\approx 54,{74}^{°}$

Vậy $(SB,(ABCD\left)\right)=\widehat{SBA}\approx 54,{75}^{°}$

Ta có \(AC\) là hình chiếu của \(SC\) trên mặt phẳng \((ABCD)\) nên

$(SC,(ABCD\left)\right)=(SC,AC)=\widehat{SCA}={45}^{°}$(do tam giác \(SAC\) vuông cân có \(SA = AC = a\sqrt 2 \)).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot AB}\\{BC \bot SA({\rm{ do }}SA \bot (SAB))}\end{array} \Rightarrow BC \bot (SAB)} \right.\).

Suy ra \(SB\) là hình chiếu của \(SC\) trên mặt phẳng \((SAB)\).

Do vậy \((SC,(SAB)) = (SC,SB) = \widehat {CSB}\).

Tam giác \(SAB\) vuông tại \(A\) có: \(SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}}  = a\sqrt 3 \).

Tam giác \(SBC\) vuông tại \(B\) có:

$\tan \widehat{CSB}=\frac{BC}{SB}=\frac{a}{a\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow \widehat{CSB}={30}^{°}.$

Vậy $(SC,(SAB\left)\right)=\widehat{CSB}={30}^{°}.$