Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh đáy bằng \(a\), cạnh bên bằng \(a\sqrt 3 \). Xác định và tính côsin của góc phẳng nhị diện \(\left[ {C',AB,D} \right].\)

Ta có: \(SA \bot (ABCD) \Rightarrow AB\) là hình chiếu của \(SB\) trên mặt phẳng \((ABCD)\).

Vì vậy \((SB,(ABCD)) = (SB,AB) = \widehat {SBA}\).

Tam giác \(SAB\) vuông tại \(A\) có: $\tan \widehat{SBA}=\frac{SA}{AB}=\frac{a\sqrt{2}}{a}=\sqrt{2}\Rightarrow \widehat{SBA}\approx 54,{74}^{°}$

Vậy $(SB,(ABCD\left)\right)=\widehat{SBA}\approx 54,{75}^{°}$

Ta có \(AC\) là hình chiếu của \(SC\) trên mặt phẳng \((ABCD)\) nên

$(SC,(ABCD\left)\right)=(SC,AC)=\widehat{SCA}={45}^{°}$(do tam giác \(SAC\) vuông cân có \(SA = AC = a\sqrt 2 \)).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot AB}\\{BC \bot SA({\rm{ do }}SA \bot (SAB))}\end{array} \Rightarrow BC \bot (SAB)} \right.\).

Suy ra \(SB\) là hình chiếu của \(SC\) trên mặt phẳng \((SAB)\).

Do vậy \((SC,(SAB)) = (SC,SB) = \widehat {CSB}\).

Tam giác \(SAB\) vuông tại \(A\) có: \(SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}}  = a\sqrt 3 \).

Tam giác \(SBC\) vuông tại \(B\) có:

$\tan \widehat{CSB}=\frac{BC}{SB}=\frac{a}{a\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow \widehat{CSB}={30}^{°}.$

Vậy $(SC,(SAB\left)\right)=\widehat{CSB}={30}^{°}.$

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AC \bot AB}\\{AC \bot AD}\end{array} \Rightarrow AC \bot (ABD)} \right.\).

Khi đó \(AD\) là hình chiếu của \(CD\) trên \((ABD)\).

Ta có: \((CD,(ABD)) = (CD,AD) = \widehat {CDA}\).

Tam giác \(ACD\) vuông tại \(A\) có: $\tan \widehat{CDA}=\frac{AC}{AD}=\frac{a}{a\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \widehat{CDA}={30}^{°}$

Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\) thì \(AM \bot BC\) (do \(AB = AC\)).

\(\begin{array}{l}{\rm{ V\`i  }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AD \bot AB}\\{AD \bot AC}\end{array}} \right.\\ \Rightarrow AD \bot (ABC)\\ \Rightarrow AD \bot BC.\end{array}\)

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot AM}\\{BC \bot AD}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow BC \bot (ADM)\)

\( \Rightarrow BC \bot DM{\rm{.}}\)

Khi đó: \((AM,DM) = \widehat {AMD}\) là góc phẳng nhị diện \([A,BC,D]\).

Tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) nên đường cao \(AM = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Tam giác \(ADM\) vuông tại \(A\) có:

$\tan \widehat{AMD}=\frac{AD}{AM}=\frac{a\sqrt{3}}{\frac{a\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{6}\Rightarrow \widehat{AMD}\approx 67,{79}^{°}$

Vì \(AB \bot AC,AB \bot AD\) nên \((AC,AD) = \widehat {CAD}\) là góc phẳng nhị diện \([C,AB,D]\) và $\widehat{CAD}={90}^{°}$