Đề kiểm tra Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng góc nhị diện (có lời giải) - Đề 1

Ta có: \[BC\] là hình chiếu vuông góc của \[SC\] xuống \[\left( {ABC} \right)\] nên góc giữa \[SC\] với \[\left( {ABC} \right)\] là góc giữa \[SC\] và \[BC\].

\[ABCD.EFGH\]là hình lập phương \[ \Rightarrow EF \bot \left( {BCGF} \right) \Rightarrow \] góc giữa đường thẳng \(EG\) và mặt phẳng \[\left( {BCGF} \right)\] là \(\widehat {EGF} = 45^\circ \)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB\).

\( \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SBC} \right),\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {SBA}\).

Góc phẳng nhị diện \(\left[ {A,BC,S} \right]\) là \(\widehat {SBA}\).

Gọi \(I = BH \cap AC\).

Góc hợp bởi cạnh bên và mặt đáy là góc \(\widehat {SBH}\).

Ta có \(\tan \widehat {SBH} = \frac{{SH}}{{HB}} = \frac{a}{{HB}}\).

Tam giác ABC đều \( \Rightarrow BH = \frac{{AB}}{{\sqrt 3 }} = \frac{a}{{\sqrt 3 }}\).

\( \Rightarrow \tan \widehat {SBH} = \frac{a}{{\frac{a}{{\sqrt 3 }}}} = \sqrt 3  \Rightarrow \widehat {SBH} = 60^\circ \).

Ta có \(AC\) là hình chiếu của \(SC\) trên \(\left( {ABCD} \right)\) nên \(\varphi  = \left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SC,AC} \right) = \widehat {SCA}\)

\(AC = \sqrt {A{D^2} + A{B^2}}  = \sqrt {13} a\), \[\tan \widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{a}{{\sqrt {13} a}} = \frac{{\sqrt {13} }}{{13}}\]. Vậy \(\tan \varphi  = \frac{{\sqrt {13} }}{{13}}\).

Vì \(SA \bot (ABC)\) nên góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy\(\left( {ABC} \right)\) là góc \(\widehat {SBA}\).

+Tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(B\)nên \(2A{B^2} = {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2}\)suy ra \(AB = a\)

+Khi đó \(\tan \widehat {SBA} = \frac{{SA}}{{AB}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{a} = \sqrt 3  \Rightarrow \widehat {SBA} = {60^0}\).

Ta có \(\widehat {\left( {\left( {SBC} \right),\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {ACS}\)

Góc phẳng nhị diện \(\left[ {A,BC,S} \right]\) là \(\widehat {ACS}\)

Ta có \(AC = \sqrt {A{D^2} + D{C^2}}  = a\sqrt 2 \)

\( \Rightarrow \tan \widehat {ACS} = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)