Cho hình nón \(\left( N \right)\) có góc ở đỉnh bằng \(60^\circ ,\) độ dài đường sinh bằng \(1\,\,{\rm{m}}\). Dãy hình cầu \(\left( {{S_1}} \right),\) \(\left( {{S_2}} \right),\) \(\left( {{S_3}} \right),...,\) \(\left( {{S_n}} \right),...\)thỏa mãn: \(\left( {{S_1}} \right)\) tiếp xúc với mặt đáy và các đường sinh của hình nón \(\left( N \right);\) \(\left( {{S_2}} \right)\) tiếp xúc ngoài với \(\left( {{S_1}} \right)\) và tiếp xúc với các đường sinh của hình nón \(\left( N \right);\) \(\left( {{S_3}} \right)\) tiếp xúc ngoài với \(\left( {{S_2}} \right)\) và tiếp xúc với các đường sinh của hình nón \(\left( N \right)\).

Tổng thể tích các khối cầu \(\left( {{S_1}} \right),\) \(\left( {{S_2}} \right),\) \(\left( {{S_3}} \right),...,\) \(\left( {{S_n}} \right),...\) với giả sử n vô cùng lớn bằng

Lời giải

Xét khối nón chứa hai mặt cầu \[\left( {{S_1}} \right)\] và \[\left( {{S_2}} \right)\] như hình trên để tìm mối liên hệ giữa bán kính \[{r_1},\,\,{r_2}\] của hai mặt cầu này. Gọi \[{I_1},\,\,{I_2}\] lần lượt là tâm của mặt cầu \[\left( {{S_1}} \right)\] và \[\left( {{S_2}} \right)\]; \[H\] là trung điểm của \[AB\].

Vì \[\Delta SAB\] đều nên theo tính chất trọng tâm: \[{r_1} = \frac{1}{3}SH = \frac{1}{3} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{6}\].

Kẻ các đường \[{I_1}{M_1} \bot SA\] tại \[{M_1}\], \[{I_2}{M_2} \bot SA\] tại \[{M_2}\].

Xét \[\Delta S{I_2}{M_2}\] có \[\sin 30^\circ  = \frac{{{I_2}{M_2}}}{{S{I_2}}}\]\[ \Rightarrow S{I_2} = 2{I_2}{M_2} = 2{r_2}\].

Khi đó ta có \[SH = S{I_2} + {I_2}E + EH\]\[ \Leftrightarrow 3{r_1} = 3{r_2} + 2{r_1}\]\[ \Leftrightarrow {r_1} = 3{r_2}\].

Chứng minh tương tự ta có \[{r_2} = 3{r_3}\],….,\[{r_n} = 3{r_{n + 1}}\].

Do đó dãy bán kính \[{r_1}\], \[{r_2}\],…,\[{r_n}\],. lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với \[{r_1} = \frac{{\sqrt 3 }}{6}\] và công bội \[q = \frac{1}{3}\]. Suy ra dãy thể tích của các khối cầu \[\left( {{S_1}} \right)\], \[\left( {{S_2}} \right)\], …,\[\left( {{S_n}} \right)\],… lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với \[{V_1} = \frac{4}{3}\pi  \cdot {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{6}} \right)^3} = \frac{{\sqrt 3 }}{{54}}\pi \,\,{\rm{(}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}{\rm{)}}\] và công bội \[{q_1} = \frac{1}{{27}}\].

Vậy tổng thể tích của các khối cầu \[\left( {{S_1}} \right),\left( {{S_2}} \right),...,\left( {{S_n}} \right),...\] là: \[V = \frac{{{V_1}}}{{1 - q}} = \frac{{\sqrt 3 }}{{52}}\pi \] \[{\rm{(}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}{\rm{)}}\]. Chọn B.