Cho hình nón \(\left( N \right)\) có góc ở đỉnh bằng \(60^\circ ,\) độ dài đường sinh bằng \(1\,\,{\rm{m}}\). Dãy hình cầu \(\left( {{S_1}} \right),\) \(\left( {{S_2}} \right),\) \(\left( {{S_3}} \right),...,\) \(\left( {{S_n}} \right),...\)thỏa mãn: \(\left( {{S_1}} \right)\) tiếp xúc với mặt đáy và các đường sinh của hình nón \(\left( N \right);\) \(\left( {{S_2}} \right)\) tiếp xúc ngoài với \(\left( {{S_1}} \right)\) và tiếp xúc với các đường sinh của hình nón \(\left( N \right);\) \(\left( {{S_3}} \right)\) tiếp xúc ngoài với \(\left( {{S_2}} \right)\) và tiếp xúc với các đường sinh của hình nón \(\left( N \right)\).
Tổng thể tích các khối cầu \(\left( {{S_1}} \right),\) \(\left( {{S_2}} \right),\) \(\left( {{S_3}} \right),...,\) \(\left( {{S_n}} \right),...\) với giả sử n vô cùng lớn bằng
Cho hình nón \(\left( N \right)\) có góc ở đỉnh bằng \(60^\circ ,\) độ dài đường sinh bằng \(1\,\,{\rm{m}}\). Dãy hình cầu \(\left( {{S_1}} \right),\) \(\left( {{S_2}} \right),\) \(\left( {{S_3}} \right),...,\) \(\left( {{S_n}} \right),...\)thỏa mãn: \(\left( {{S_1}} \right)\) tiếp xúc với mặt đáy và các đường sinh của hình nón \(\left( N \right);\) \(\left( {{S_2}} \right)\) tiếp xúc ngoài với \(\left( {{S_1}} \right)\) và tiếp xúc với các đường sinh của hình nón \(\left( N \right);\) \(\left( {{S_3}} \right)\) tiếp xúc ngoài với \(\left( {{S_2}} \right)\) và tiếp xúc với các đường sinh của hình nón \(\left( N \right)\).
Tổng thể tích các khối cầu \(\left( {{S_1}} \right),\) \(\left( {{S_2}} \right),\) \(\left( {{S_3}} \right),...,\) \(\left( {{S_n}} \right),...\) với giả sử n vô cùng lớn bằng
Câu hỏi trong đề: Đề thi thử ĐGNL Bộ Công an năm 2026 - Đề số 1 !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
Xét khối nón chứa hai mặt cầu \[\left( {{S_1}} \right)\] và \[\left( {{S_2}} \right)\] như hình trên để tìm mối liên hệ giữa bán kính \[{r_1},\,\,{r_2}\] của hai mặt cầu này. Gọi \[{I_1},\,\,{I_2}\] lần lượt là tâm của mặt cầu \[\left( {{S_1}} \right)\] và \[\left( {{S_2}} \right)\]; \[H\] là trung điểm của \[AB\].
Vì \[\Delta SAB\] đều nên theo tính chất trọng tâm: \[{r_1} = \frac{1}{3}SH = \frac{1}{3} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{6}\].
Kẻ các đường \[{I_1}{M_1} \bot SA\] tại \[{M_1}\], \[{I_2}{M_2} \bot SA\] tại \[{M_2}\].
Xét \[\Delta S{I_2}{M_2}\] có \[\sin 30^\circ = \frac{{{I_2}{M_2}}}{{S{I_2}}}\]\[ \Rightarrow S{I_2} = 2{I_2}{M_2} = 2{r_2}\].
Khi đó ta có \[SH = S{I_2} + {I_2}E + EH\]\[ \Leftrightarrow 3{r_1} = 3{r_2} + 2{r_1}\]\[ \Leftrightarrow {r_1} = 3{r_2}\].
Chứng minh tương tự ta có \[{r_2} = 3{r_3}\],….,\[{r_n} = 3{r_{n + 1}}\].
Do đó dãy bán kính \[{r_1}\], \[{r_2}\],…,\[{r_n}\],. lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với \[{r_1} = \frac{{\sqrt 3 }}{6}\] và công bội \[q = \frac{1}{3}\]. Suy ra dãy thể tích của các khối cầu \[\left( {{S_1}} \right)\], \[\left( {{S_2}} \right)\], …,\[\left( {{S_n}} \right)\],… lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với \[{V_1} = \frac{4}{3}\pi \cdot {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{6}} \right)^3} = \frac{{\sqrt 3 }}{{54}}\pi \,\,{\rm{(}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}{\rm{)}}\] và công bội \[{q_1} = \frac{1}{{27}}\].
Vậy tổng thể tích của các khối cầu \[\left( {{S_1}} \right),\left( {{S_2}} \right),...,\left( {{S_n}} \right),...\] là: \[V = \frac{{{V_1}}}{{1 - q}} = \frac{{\sqrt 3 }}{{52}}\pi \] \[{\rm{(}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}{\rm{)}}\]. Chọn B.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Lời giải
Gọi \(A\) là biến cố: “An thắng Bình trong ván cờ”, \(B\) là biến cố: “Bình thắng An trong ván cờ” và \(C\) là biến cố: “Bình và An hoà nhau trong ván cờ”.
Ta thấy \[A\], \[B\], \[C\] là các biến cố xung khắc.
Để hai bạn dừng chơi sau hai ván cờ thì ván đấu thứ nhất hai bạn hoà nhau, ván đấu thứ hai sẽ có thắng thua.
Xét ván thứ nhất: \(P\left( C \right) = 1 - P\left( A \right) - P\left( B \right) = 1 - 0,4 - 0,35 = 0,25\).
Xét ván thứ hai: \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) = 0,4 + 0,35 = 0,75\).
Xác suất để hai bạn dừng chơi sau hai ván đấu là \(P = 0,25 \cdot 0,75 = 0,1875\).
Đáp án: 0,1875.
Câu 2
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Lời giải
Ta nhận thấy hai điểm \(A,\;B\) nằm về cùng một phía của đường thẳng \(\Delta :x - y + 3 = 0\).
Gọi \(A'\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(\Delta \).
Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(\Delta \) tại \(H\).
Phương trình tham số của \(d\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - t\end{array} \right.\).
Vì \(H \in d\) nên \(H\left( {{x_H}\;;\; - {x_H}} \right)\).
Mặt khác, \(H \in \Delta \Rightarrow {x_H} - \left( { - {x_H}} \right) + 3 = 0 \Leftrightarrow {x_H} = - \frac{3}{2}\). Suy ra \(H\left( { - \frac{3}{2}\;;\,\frac{3}{2}} \right)\).
Vì \(H\) là trung điểm của \(AA'\) nên \(A'\left( { - 3\;;\;3} \right)\).
Vì \(A,B\) cố định nên độ dài đường đi của tàu ngắn nhất \( \Leftrightarrow \)\(AM + MB\) ngắn nhất.
Ta có \(AM + MB = A'M + MB \ge A'B\).
Vậy \(AM + MB\) ngắn nhất \( \Leftrightarrow \)\[A',M,B\] thẳng hàng \( \Leftrightarrow \)\(A'B\) cắt \(\Delta \) tại \(M\).
Phương trình đường thẳng \(A'B\) là \(x + 2y - 3 = 0\).
Tọa độ điểm \(M\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x - y + 3 = 0\\x + 2y - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 2\end{array} \right.\). Vậy \(M\left( { - 1\;;\;2} \right)\). Chọn A.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập