Cho hình hộp chữ nhật có diện tích toàn phần bằng 36, độ dài đường chéo bằng 6. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối hộp đó (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Lời giải

Gọi số đo của hình hộp chữ nhật là \(a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c\).

Khi đó ta có \({S_{tp}} = 2\left( {ab + bc + ca} \right) = 36\) và độ dài đường chéo bằng 6 nên \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 36\).

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{a^2} + {b^2} + {c^2} = 36}\\{ab + bc + ca = 18}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( {a + b + c} \right)}^2} = 72}\\{ab + bc + ca = 18}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + b + c = 6\sqrt 2 }\\{b\left( {a + c} \right) + ac = 18}\end{array}} \right.\)

Khi đó \(V = abc = b\left[ {18 - b\left( {a + c} \right)} \right]\)\( = b\left[ {18 - b\left( {6\sqrt 2  - b} \right)} \right]\)\( = b\left[ {18 - 6\sqrt 2 b + {b^2}} \right]\)\( = {b^3} - 6\sqrt 2 {b^2} + 18b = f\left( b \right)\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + c = 6\sqrt 2  - b}\\{b\left( {6\sqrt 2  - b} \right) + ac = 18}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + c = 6\sqrt 2  - b}\\{ac = 18 + {b^2} - 6\sqrt 2 b}\end{array}} \right.\).

Để tồn tại \(a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c\) thì \({S^2} \ge 4P \Leftrightarrow {\left( {6\sqrt 2  - b} \right)^2} \ge 4\left( {18 + {b^2} - 6\sqrt 2 b} \right)\)

\( \Leftrightarrow {b^2} - 12\sqrt 2 b + 72 \ge 72 + 4{b^2} - 24\sqrt 2 b\)\( \Leftrightarrow 3{b^2} - 12\sqrt 2 b \le 0\)\( \Leftrightarrow 0 \le b \le 4\sqrt 2 \).

Xét hàm số \(f\left( b \right) = {b^3} - 6\sqrt 2 {b^2} + 18b{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {0 < b \le 4\sqrt 2 } \right)\) ta có: \(f'\left( b \right) = 3{b^2} - 12\sqrt 2 b + 18 = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = 3\sqrt 2 }\\{b = \sqrt 2 }\end{array}} \right.{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {{\rm{tm}}} \right)\).

Có \(f\left( {3\sqrt 2 } \right) = 0;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} f\left( {\sqrt 2 } \right) = 8\sqrt 2 \).

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên \[ \Rightarrow \mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ {0;4\sqrt 2 } \right]} f\left( b \right) = 8\sqrt 2 \]. Vậy \({V_{\max }} = 8\sqrt 2  \approx 11,3\).

Đáp án: 11,3.