Cho hình lăng trụ đứng \(ABC \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }\) có đáy là tam giác vuông cân tại \(B,AC = 2a\) và \({A^\prime }B = 3a\). Tính góc phẳng nhị diện \(\left[ {{B^\prime },AC,B} \right]\) ?

Ta có: \(SA \bot (ABC)\) tại \(A\) và \(SB\) cắt mặt phẳng \((ABC)\) tại \(B\)

\( \Rightarrow AB\) là hình chiếu của \(SB\) trên mp \((ABC)\)

\( \Rightarrow (SB,(ABC)) = (SB,AB) = \widehat {SBA}\)

Xét \(\Delta SAB\) vuông tại $A:\tan \widehat{SBA}=\frac{SA}{AB}=\frac{a}{a}=1\Rightarrow \widehat{SBA}={45}^{°}$

Vậy$(SB,(ABC\left)\right)={45}^{°}$

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{CB \bot AB}\\{CB \bot SA}\end{array} \Rightarrow CB \bot (SAB)} \right.\) tại \(B\) và \(SC\) cắt mặt phẳng \((SAB)\) tại \(S\)

\( \Rightarrow SB\) là hình chiếu của \(SC\) trên mp \((SAB)\)

\( \Rightarrow (SC,(SAB)) = (SC,SB) = \widehat {BSC}\)

Ta có: \(SB = a\sqrt 2 \) (vì tam giác \(SAB\) vuông cân tại \(A\))

Xét \(\Delta SBC\) vuông tại \(B:\tan \widehat {BSC} = \frac{{CB}}{{SB}} = \frac{a}{{a\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \widehat {BSC} \approx 35,{3^0}\)

Vậy \((SC,(SAB)) \approx 35,{3^0}\).