Một thủ kho có một chùm chìa khóa gồm \(9\) chiếc bề ngoài giống hệt nhau trong đó chỉ có hai chiếc mở được cửa kho. Anh ta thử ngẫu nhiên từng chìa (chìa nào không đúng thì bỏ ra khỏi chùm chìa khóa). Tìm xác suất để lần thứ ba thì anh ta mới mở được cửa (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Lời giải

Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có một vectơ pháp tuyến \({\overrightarrow n _{\left( Q \right)}} = \left( {1\,;\,1\,;\,2} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua hai điểm \(A\left( {2\,;\, - 1\,;\,0} \right)\), \(B\left( {1\,;\,1\,;\,2} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( Q \right)\) nên có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1\,;\,2\,;\,2} \right)\) và \({\overrightarrow n _{\left( Q \right)}} = \left( {1\,;\,1\,;\,2} \right)\).

Do đó \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến là: \({\overrightarrow n _{\left( P \right)}} = \left[ {\overrightarrow {AB} \,,\,{{\overrightarrow n }_{\left( Q \right)}}} \right] = \left( {2\,;\,4\,;\, - 3} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\left( {2\,;\, - 1\,;\,0} \right)\) và nhận \({\overrightarrow n _{\left( P \right)}} = \left( {2\,;\,4\,;\, - 3} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến nên có phương trình: \(2\left( {x - 2} \right) + 4\left( {y + 1} \right) - 3\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 4y - 3z = 0\). Chọn B.

Lời giải

Vì \[AB \bot \left( P \right)\] nên mặt phẳng \(\left( P \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow {AB}  = \left( {2; - 3;4} \right)\], do đó phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) có dạng \[2x - 3y + 4z + d = 0\].

Từ đây tìm được \[D\left( { - \frac{d}{2};0;0} \right)\], \[E\left( {0;\frac{d}{3};0} \right)\], \[F\left( {0;0; - \frac{d}{4}} \right)\] suy ra \[OD = \frac{{\left| d \right|}}{2}\], \[OE = \frac{{\left| d \right|}}{3}\], \[OF = \frac{{\left| d \right|}}{4}\].

Mặt khác tứ diện \[ODEF\] có \[OD,OE,OF\] đôi một vuông góc nên

\[{V_{ODEF}} = \frac{1}{6}OD \cdot OE \cdot OF\]\[ \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {\left| d \right|} \right)}^3}}}{{144}} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow \left| d \right| = 6 \Leftrightarrow d =  \pm 6\].

Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \[2x - 3y + 4z \pm 6 = 0\]. Chọn D.