Hai lớp 8A và 8B cùng tham gia trồng cây. Lớp 8A có \(40\) học sinh, mỗi em trồng được \(3\) cây. Lớp 8B có \(30\) học sinh mỗi em trồng \(x\) cây. Biết số cây mỗi lớp trồng là như nhau, khi đó giá trị của \(x\) là

Xét \(\Delta SAE\) vuông tại \(E\) có: \(S{E^2} + E{A^2} = S{A^2}\)

Suy ra \(S{E^2} = S{A^2} - E{A^2}\) \( = {2^2} - {1^2} = 3\).

Ta có \(SE\) là trung đoạn nên \(E\) là trung điểm của \(AB\).

Xét \(\Delta ABD\) có \(E,\,\,H\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,\,BD\).   

Do đó \(EH\) là đường trung bình của \(\Delta ABD\) nên \(EH = \frac{1}{2}AD = 1\,\,({\rm{cm)}}\). 

 Xét \(\Delta SEH\) vuông tại \(H\) có: \(S{E^2} = S{H^2} + E{H^2}\) .

Suy ra \(S{H^2} = S{E^2} - E{H^2}\) \( = 3 - {1^2}\) .

Do đó \(SH = \sqrt 2 \,\,{\rm{cm}}\).

a) Xét \[\Delta BHK\] và \[\Delta CHI\] có:

\[\widehat {BHK} = \widehat {CHI}\]

\[\widehat {BKH} = \widehat {CIH}\;\left( { = 90^\circ } \right)\]

Do đó $\Delta BHK\backsim \Delta CHI\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(g.g)}$ .

b) Từ câu a:  suy ra \(\widehat {KBH} = \widehat {ICH}\) (hai góc tương ứng).

Mà \(\widehat {KBH} = \widehat {IBC}\) (do \[BI\] là đường phân giác \(\widehat {ABC}\))

Nên suy ra \(\widehat {ICH} = \widehat {IBC}\;\,\left( { = \widehat {KBH}} \right)\).

Xét \[\Delta ICH\] và \[\Delta IBC\] có:

\(\widehat {ICH} = \widehat {IBC}\;\left( { = \widehat {KBH}} \right)\)

\[\widehat {CIH} = \widehat {BIC}\;\left( { = 90^\circ } \right)\]

Do đó $\Delta ICH\backsim \Delta IBC\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(g.g)}$ .

Suy ra \(\frac{{CI}}{{BI}} = \frac{{IH}}{{IC}}\) hay \(C{I^2} = IH \cdot IB\) (đpcm).

d) Xét \[\Delta BAC\] có \[BI \bot AC\] nên \[BI\] vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên \[\Delta BAC\] cân tại \[B.\]

Suy ra \[BI\] là đường trung tuyến hay \[IA = IC.\]

Xét \[\Delta KBC\] vuông tại \[K\]có \[KI\] là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \[AC\] nên

\[KI = \frac{{AC}}{2} = AI = IC\].

Do đó \[\Delta KIC\] cân tại \[K\] nên \(\widehat {IKC} = \widehat {ICK}\).             (1)

Vì \[\Delta BKH = \Delta BDH\] nên \[BK = BD.\]

Suy ra \[\Delta BKD\] cân tại \[B\] nên \(\widehat {BKD} = \widehat {BDK} = \frac{{180^\circ  - \widehat {CBK}}}{2}.\)

Lại có \[\Delta ABC\] cân tại \[B\] nên \(\widehat {BAC} = \widehat {BCA} = \frac{{180^\circ  - \widehat {CBK}}}{2}.\)

Do đó \(\widehat {BKD} = \widehat {BAC}\) suy ra \[KD\,{\rm{//}}\,AC\] nên \(\widehat {DKC} = \widehat {KCI}\).          (2)

Từ (1) và (2) suy ra \[\widehat {DKC} = \widehat {IKC}\].

Do đó \[KC\] là tia phân giác của góc \[IKD\] (đpcm).