1. Một cây cao \[12\,\,{\rm{m}}\] mọc cạnh bờ sông. Trên đỉnh cây có một con chim đang đậu và chuẩn bị sà xuống bắt con cá trên mặt nước (như Hình 1 và được mô phỏng như Hình 2). Hỏi con chim sẽ bay một đoạn ngắn nhất bằng bao nhiêu mét thì bắt được con cá? (Biết con cá cách gốc cây \[5\,\,{\rm{m}}\] và nước cao mấp mé bờ sông).

2. Một chiếc lều có hình dạng là một hình chóp tứ giác đều. Biết chiếc lều có mặt bên là tam giác đều có cạnh bằng \(2\,\,{\rm{m}}\). Tính chiều cao của chiếc lều.

a) Xét \[\Delta BHK\] và \[\Delta CHI\] có:

\[\widehat {BHK} = \widehat {CHI}\]

\[\widehat {BKH} = \widehat {CIH}\;\left( { = 90^\circ } \right)\]

Do đó $\Delta BHK\backsim \Delta CHI\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(g.g)}$ .

b) Từ câu a:  suy ra \(\widehat {KBH} = \widehat {ICH}\) (hai góc tương ứng).

Mà \(\widehat {KBH} = \widehat {IBC}\) (do \[BI\] là đường phân giác \(\widehat {ABC}\))

Nên suy ra \(\widehat {ICH} = \widehat {IBC}\;\,\left( { = \widehat {KBH}} \right)\).

Xét \[\Delta ICH\] và \[\Delta IBC\] có:

\(\widehat {ICH} = \widehat {IBC}\;\left( { = \widehat {KBH}} \right)\)

\[\widehat {CIH} = \widehat {BIC}\;\left( { = 90^\circ } \right)\]

Do đó $\Delta ICH\backsim \Delta IBC\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(g.g)}$ .

Suy ra \(\frac{{CI}}{{BI}} = \frac{{IH}}{{IC}}\) hay \(C{I^2} = IH \cdot IB\) (đpcm).

d) Xét \[\Delta BAC\] có \[BI \bot AC\] nên \[BI\] vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên \[\Delta BAC\] cân tại \[B.\]

Suy ra \[BI\] là đường trung tuyến hay \[IA = IC.\]

Xét \[\Delta KBC\] vuông tại \[K\]có \[KI\] là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \[AC\] nên

\[KI = \frac{{AC}}{2} = AI = IC\].

Do đó \[\Delta KIC\] cân tại \[K\] nên \(\widehat {IKC} = \widehat {ICK}\).             (1)

Vì \[\Delta BKH = \Delta BDH\] nên \[BK = BD.\]

Suy ra \[\Delta BKD\] cân tại \[B\] nên \(\widehat {BKD} = \widehat {BDK} = \frac{{180^\circ  - \widehat {CBK}}}{2}.\)

Lại có \[\Delta ABC\] cân tại \[B\] nên \(\widehat {BAC} = \widehat {BCA} = \frac{{180^\circ  - \widehat {CBK}}}{2}.\)

Do đó \(\widehat {BKD} = \widehat {BAC}\) suy ra \[KD\,{\rm{//}}\,AC\] nên \(\widehat {DKC} = \widehat {KCI}\).          (2)

Từ (1) và (2) suy ra \[\widehat {DKC} = \widehat {IKC}\].

Do đó \[KC\] là tia phân giác của góc \[IKD\] (đpcm).