Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) đôi một khác nhau và \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0.\) Tính giá trị biểu thức \[P = \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + 2bc}} + \frac{{{b^2}}}{{{b^2} + 2ac}} + \frac{{{c^2}}}{{{c^2} + 2ab}}.\]

Hướng dẫn giải

Theo đề bài, \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0\), suy ra \(ab + bc + ca = 0.\)

Do đó \[{a^2} + 2bc = {a^2} + bc + \left( { - ab - ac} \right)\]

\[ = a\left( {a - b} \right) - c\left( {a - b} \right) = \left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right).\]

Tương tự, ta có \[{b^2} + 2ac = \left( {b - a} \right)\left( {b - c} \right)\]; \[{c^2} + 2ab = \left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right).\]

Từ đó, ta có:

\[P = \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + 2bc}} + \frac{{{b^2}}}{{{b^2} + 2ac}} + \frac{{{c^2}}}{{{c^2} + 2ab}}\]

\[ = \frac{{{a^2}}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} + \frac{{{b^2}}}{{\left( {b - a} \right)\left( {b - c} \right)}} + \frac{{{c^2}}}{{\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}}\]

\[ = \frac{{{a^2}\left( {b - c} \right) + {b^2}\left( {c - a} \right) + {c^2}\left( {a - b} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {a - c} \right)}}\]

\[ = \frac{{ab\left( {a - b} \right) - c\left( {{a^2} - {b^2}} \right) + {c^2}\left( {a - b} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {a - c} \right)}}\]

\[ = \frac{{\left( {a - b} \right)\left( {ab - ac - bc + {c^2}} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {a - c} \right)}}\]

\[ = \frac{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {a - c} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {a - c} \right)}} = 1.\]

Vậy \[P = \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + 2bc}} + \frac{{{b^2}}}{{{b^2} + 2ac}} + \frac{{{c^2}}}{{{c^2} + 2ab}} = 1.\]