Một hộp đựng \(12\) tấm thẻ cùng loại được đánh số từ \(1\) đến \(12\). Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ trong hộp. Gọi \(E\) là biến cố “Số ghi trên tấm thẻ là số lớn hơn hoặc bằng \(7\)”; \(F\) là biến cố “Số ghi trên tấm thẻ là số nhỏ hơn hoặc bằng \(4\)” và \(G\) là biến cố “Số ghi trên tấm thẻ là số nguyên tố”.   Khẳng định nào dưới đây sai?

Gọi các biến cố:

\[A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C\]lần lượt là biến cố An thắng, Bình thắng, Nam thắng.

\[{A_n}\]: “ An thắng nhờ bắn trúng mục tiêu ở lượt bắn thứ \[n\]của mình”

\[{B_n}\]: “ Bình thắng nhờ bắn trúng mục tiêu ở lượt bắn thứ \[n\]của mình”

\[{C_n}\]: “ Nam thắng nhờ bắn trúng mục tiêu ở lượt bắn thứ \[n\]của mình”

Khi đó: \[A = {A_1} \cup {A_2} \cup {A_3} \cup ...\] và \[{A_1},{\rm{ }}{A_2},{\rm{ }}{A_3},\]… đôi một xung khắc.

Để \[{A_n}\]xảy ra thì ở \[n - 1\]lượt phi tiêu đầu cả An, Bình, Nam đều phi trượt và An phi trúng ở lượt phi tiêu thứ \[n\]của mình. Ta có: \[P({A_n}) = {(0,8.0,6.0,4)^{n - 1}}.0,2 = 0,{192^{n - 1}}.0,2\]

Vậy dãy số \[P\left( {{A_n}} \right)\]là cấp số nhân lùi vô hạn với công bội \[0,192\] và số hạng đầu bằng \[0,2\].

Do đó xác suất để An giành chiến thắng là \[P(A) = P({A_1}) + P({A_2}) + P({A_3}) + ... = \frac{{0,2}}{{1 - 0,192}} = \frac{{25}}{{101}}\]

Tương tự ta có: \[P({B_n}) = {(0,8.0,6.0,4)^{n - 1}}.0,8.0,4 = 0,{192^{n - 1}}.0,32\] và \[P(B) = \frac{{40}}{{101}}\]

\[P({C_n}) = {(0,8.0,6.0,4)^{n - 1}}.0,8.0,6.0,6 = 0,{192^{n - 1}}.0,288\] và \[P(C) = \frac{{36}}{{101}}\]

Từ đó \[{P_2} > {P_3} > {P_1}.\]

Số phần tử của không gian mẫu: \[n\left( \Omega  \right) = A_{10}^3 = 720\].

Gọi \[A\] là biến cố cần tính xác suất. Khi đó: các bộ số có tổng bằng \[10\] và khác nhau là:

\[\left\{ {\left( {0;1;9} \right);\left( {0;2;8} \right);\left( {0;3;7} \right);\left( {0;4;6} \right);\left( {1;2;7} \right);\left( {1;3;6} \right);\left( {1;4;5} \right);\left( {2;3;5} \right)} \right\}\].

a) Bấm lần thứ nhất là đúng luôn thì xác suất là \[\frac{8}{{C_{10}^3}} = \frac{8}{{120}}\].

b) Bấm đến lần thứ hai là đúng thì xác suất là: \[\left( {1 - \frac{8}{{120}}} \right).\frac{8}{{119}}\] ( vì trừ đi lần đâu bị sai nên không gian mẫu chỉ còn là \[120 - 1 = 119\]).

c) Bấm đến lần thứ ba mới đúng thì xác suất là: \[\left( {1 - \frac{8}{{120}}} \right)\left( {1 - \frac{8}{{119}}} \right)\frac{8}{{118}}\].

d) Xác suất để B mở được cửa phòng học đó biết rằng để nếu bấm sai \[3\] lần liên tiếp cửa sẽ tự động khóa lại là: \[\frac{8}{{120}} + \left( {1 - \frac{8}{{120}}} \right).\frac{8}{{119}} + \left( {1 - \frac{8}{{120}}} \right)\left( {1 - \frac{8}{{119}}} \right)\frac{8}{{118}} = \frac{{189}}{{1003}}\].