Ba bạn An, Bình, Nam chơi phi tiêu, ai phi trúng mục tiêu trước thì người đó thắng cuộc chơi và được hai bạn còn lại mua tặng vé xem trận bán kết AFF Susuki Cup \[2018\] của tuyển Việt Nam. Thứ tự chơi lần lượt là: An, Bình, Nam; An, Bình, Nam; … Xác suất phi trúng mục tiêu trong một lần phi tiêu của An, Bình, Nam tương ứng là \[0,2;{\rm{ }}0,4\]và\[0,6\]. Gọi \[{P_1},{\rm{ }}{P_2},{\rm{ }}{P_3}\]lần lượt là xác suất giành chiến thắng của ba bạn An, Bình, Nam. Khi đó, khẳng định nào sau đây đúng?

Gọi các biến cố:

\[A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C\]lần lượt là biến cố An thắng, Bình thắng, Nam thắng.

\[{A_n}\]: “ An thắng nhờ bắn trúng mục tiêu ở lượt bắn thứ \[n\]của mình”

\[{B_n}\]: “ Bình thắng nhờ bắn trúng mục tiêu ở lượt bắn thứ \[n\]của mình”

\[{C_n}\]: “ Nam thắng nhờ bắn trúng mục tiêu ở lượt bắn thứ \[n\]của mình”

Khi đó: \[A = {A_1} \cup {A_2} \cup {A_3} \cup ...\] và \[{A_1},{\rm{ }}{A_2},{\rm{ }}{A_3},\]… đôi một xung khắc.

Để \[{A_n}\]xảy ra thì ở \[n - 1\]lượt phi tiêu đầu cả An, Bình, Nam đều phi trượt và An phi trúng ở lượt phi tiêu thứ \[n\]của mình. Ta có: \[P({A_n}) = {(0,8.0,6.0,4)^{n - 1}}.0,2 = 0,{192^{n - 1}}.0,2\]

Vậy dãy số \[P\left( {{A_n}} \right)\]là cấp số nhân lùi vô hạn với công bội \[0,192\] và số hạng đầu bằng \[0,2\].

Do đó xác suất để An giành chiến thắng là \[P(A) = P({A_1}) + P({A_2}) + P({A_3}) + ... = \frac{{0,2}}{{1 - 0,192}} = \frac{{25}}{{101}}\]

Tương tự ta có: \[P({B_n}) = {(0,8.0,6.0,4)^{n - 1}}.0,8.0,4 = 0,{192^{n - 1}}.0,32\] và \[P(B) = \frac{{40}}{{101}}\]

\[P({C_n}) = {(0,8.0,6.0,4)^{n - 1}}.0,8.0,6.0,6 = 0,{192^{n - 1}}.0,288\] và \[P(C) = \frac{{36}}{{101}}\]

Từ đó \[{P_2} > {P_3} > {P_1}.\]