(2,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB và AC lấy lần lượt hai điểm H và K sao cho AH = AK. Gọi giao điểm của CH và BK là O.

(a) Chứng minh rằng CH = BK.

(b) Chứng minh rằng \[\Delta HOB = \Delta KOC.\]

(c) Gọi I là giao điểm của AO và BC. So sánh độ dài AB và AI.

a) Do \[\Delta ABC\] cân tại A (gt)

\[ \Rightarrow \widehat {ABC} = \widehat {ACB}\,;\,\,AB = AC\] (tính chất tam giác cân)

Mà AH = AK (gt)

Nên: AB – AH = AC – AK hay BH = CK

Xét \[\Delta BHC\] và \[\Delta CKB\] có:

BC chung

\[\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\]

BH = CK (cmt)

Suy ra: \[\Delta BHC = \Delta CKB\,\,{\rm{(c}}{\rm{.g}}{\rm{.c)}}\]

\[ \Rightarrow CH = BK\] (2 cạnh tương ứng)

b) Do \[\Delta BHC = \Delta CKB\,\,{\rm{(cmt)}}\]

\[ \Rightarrow \widehat {BHO} = \widehat {CKO}\] (2 góc tương ứng)

Mà \[\widehat {BOH} = \widehat {COK}\] (hai góc đối đỉnh)

\[\widehat {OBH} = \widehat {OCK}\,\,( = 180^\circ - \widehat {BOH} - \widehat {BHO} = 180^\circ - \widehat {CKO} - \widehat {COK})\]

Xét \[\Delta HOB\] và \[\Delta KOC\] có:

\[\left. \begin{array}{l}\widehat {BHO} = \widehat {CKO}\,(cmt)\\BH = CK\,(cmt)\\\widehat {OBH} = \widehat {OCK}(cmt)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta HOB = \Delta KOC\,\,{\rm{(g}}{\rm{.c}}{\rm{.g)}}\]

c) Do AB = AC (cmt) \( \Rightarrow \) A thuộc đường trung trực BC

OB = OC (\[\Delta HOB = \Delta KOC\]) \( \Rightarrow \) O thuộc đường trung trực BC

\( \Rightarrow \) AO là trung trực của BC

Mà AO cắt BC tại I, nên AI là trung trực của BC

\( \Rightarrow \)\[AI \bot BC\]tại I nên \[\widehat {AIB} = 90^\circ \]

Xét tam giác AIB có, \[\widehat {AIB} = 90^\circ \]

\( \Rightarrow \) AB >AI (quan hệ đường vuông góc, đường xiên)