(2,0 điểm) Cho hai đa thức:

\[A(x) = - {x^4} + 4{x^3} - \frac{1}{2}{x^2} + x - 3 - 2{x^4} + {x^3} - \frac{1}{2}{x^2} + 2;\]

\[B(x) = {x^4} - {x^3} - 3{x^2} + 2x - 4 + {x^4} - 4{x^3} + {x^2} - 3x.\]

(a) Thu gọn và sắp xếp mỗi đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến.

(b) Tính \[A(1)\] và \[B( - 2).\]

(c) Tính \[C(x) = A(x) + B(x).\]

a) Do \[\Delta ABC\] cân tại A (gt)

\[ \Rightarrow \widehat {ABC} = \widehat {ACB}\,;\,\,AB = AC\] (tính chất tam giác cân)

Mà AH = AK (gt)

Nên: AB – AH = AC – AK hay BH = CK

Xét \[\Delta BHC\] và \[\Delta CKB\] có:

BC chung

\[\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\]

BH = CK (cmt)

Suy ra: \[\Delta BHC = \Delta CKB\,\,{\rm{(c}}{\rm{.g}}{\rm{.c)}}\]

\[ \Rightarrow CH = BK\] (2 cạnh tương ứng)

b) Do \[\Delta BHC = \Delta CKB\,\,{\rm{(cmt)}}\]

\[ \Rightarrow \widehat {BHO} = \widehat {CKO}\] (2 góc tương ứng)

Mà \[\widehat {BOH} = \widehat {COK}\] (hai góc đối đỉnh)

\[\widehat {OBH} = \widehat {OCK}\,\,( = 180^\circ - \widehat {BOH} - \widehat {BHO} = 180^\circ - \widehat {CKO} - \widehat {COK})\]

Xét \[\Delta HOB\] và \[\Delta KOC\] có:

\[\left. \begin{array}{l}\widehat {BHO} = \widehat {CKO}\,(cmt)\\BH = CK\,(cmt)\\\widehat {OBH} = \widehat {OCK}(cmt)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta HOB = \Delta KOC\,\,{\rm{(g}}{\rm{.c}}{\rm{.g)}}\]

c) Do AB = AC (cmt) \( \Rightarrow \) A thuộc đường trung trực BC

OB = OC (\[\Delta HOB = \Delta KOC\]) \( \Rightarrow \) O thuộc đường trung trực BC

\( \Rightarrow \) AO là trung trực của BC

Mà AO cắt BC tại I, nên AI là trung trực của BC

\( \Rightarrow \)\[AI \bot BC\]tại I nên \[\widehat {AIB} = 90^\circ \]

Xét tam giác AIB có, \[\widehat {AIB} = 90^\circ \]

\( \Rightarrow \) AB >AI (quan hệ đường vuông góc, đường xiên)

Gọi số cây xanh của mỗi 7A, 7B, 7C phải trồng lần lượt là \[x,\,\,y,\,\,z\,\,\,(x,\,\,y,\,\,z \in \mathbb{N}*,\,\,x,\,y,\,z < 40)\], cây.

Theo đề bài ta có: \[x + y + z = 40\]

Do số cây mỗi lớp trồng lần lượt tỉ lệ với 36, 45, 39 nên:

\[\frac{x}{{36}} = \frac{y}{{45}} = \frac{z}{{39}}\]

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\[\frac{x}{{36}} = \frac{y}{{45}} = \frac{z}{{39}} = \frac{{x + y + z}}{{36 + 45 + 39}} = \frac{{40}}{{120}} = \frac{1}{3}\]

Do đó \[x = 36.\frac{1}{3} = 12\,\,{\rm{(TM)}}\,;\,\,y = 45.\frac{1}{3} = 15\,\,{\rm{(TM)}}\,;\,\,z = 39.\frac{1}{3} = 13\,\,{\rm{(TM)}}\]

Vậy số cây xanh của mỗi 7A, 7B, 7C phải trồng lần lượt là 12 cây, 15 cây và 13 cây