Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên $\mathrm{ℝ}$ ?

Hàm số xác định khi và chỉ khi:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {x - 2\sqrt {x - 1} } }\\{x - 1 \ge 0}\end{array} > 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {(x - 1) - 2\sqrt {x - 1}  + 1}  > 0}\\{x \ge 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {{{(\sqrt {x - 1}  - 1)}^2}}  > 0}\\{x \ge 1}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)\(\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {x - 1}  \ne 1}\\{x \ge 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 1 \ne 1}\\{x \ge 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ne 2}\\{x \ge 1}\end{array}.} \right.} \right.} \right.\)

Tập xác định hàm số: \(D = [1; + \infty )\backslash \{ 2\} \).

Hàm số xác định \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - 3m + 4 \ge 0}\\{x + m - 1 \ne 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge \frac{{3m - 4}}{2}}\\{x \ne 1 - m}\end{array}} \right.} \right.\).

Trường hợp 1: \(1 - m \ge \frac{{3m - 4}}{2} \Leftrightarrow m \le \frac{6}{5}\), tập xác định hàm số \(D = \left[ {\frac{{3m - 4}}{2}; + \infty } \right)\backslash \{ 1 - m\} \).

Tập xác định này không thể bằng \([0; + \infty )\) theo đề bài. Do đó \(m \le \frac{6}{5}\) không thỏa mãn.

Trường hợp \(2:1 - m < \frac{{3m - 4}}{2} \Leftrightarrow m > \frac{6}{5}\), tập xác định của hàm số là \(D = \left[ {\frac{{3m - 4}}{2}; + \infty } \right)\).

Do đó, hàm số có tập xác định là \([0; + \infty ) \Leftrightarrow \frac{{3m - 4}}{2} = 0 \Leftrightarrow m = \frac{4}{3}\) (thỏa mãn).

Vậy \(m = \frac{4}{3}\) là giá trị cần tìm.