Cho hàm số \(f(x) = \frac{{x - 2}}{{x - 1}}\) có đồ thị là đường cong \((C)\).

Ta có hàm số \(f(x) = \frac{{x - 2}}{{x - 1}}\).

Tập xác định: \(D = \mathbb{R} \setminus \{ 1\} \).

Đạo hàm: \(f'(x) = \frac{{(x - 1) - (x - 2)}}{{{{(x - 1)}^2}}} = \frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}}\).

a) Sai. Hàm số không đồng biến trên khoảng \(( - \infty ; + \infty )\) vì nó không liên tục tại \(x = 1\).

b) Đồ thị \((C)\) như hình vẽ dưới đây.

Ta xác định các yếu tố của đồ thị hàm số \(f(x) = \frac{{x - 2}}{{x - 1}}\):

Tiệm cận đứng: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x - 2}}{{x - 1}} = - \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{x - 2}}{{x - 1}} = + \infty \). Vậy đường thẳng \(x = 1\) là tiệm cận đứng.
Tiệm cận ngang: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{x - 2}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{1 - \frac{2}{x}}}{{1 - \frac{1}{x}}} = 1\). Vậy đường thẳng \(y = 1\) là tiệm cận ngang.

Giao điểm với trục \(Ox\): Cho \(f(x) = 0 \Rightarrow x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2\). Điểm \((2;0)\).

Giao điểm với trục \(Oy\): Cho \(x = 0 \Rightarrow f(0) = \frac{{0 - 2}}{{0 - 1}} = 2\). Điểm \((0;2)\).

So sánh với hình vẽ, đồ thị trong hình vẽ có tiệm cận đứng \(x = 1\), tiệm cận ngang \(y = 1\), đi qua điểm \((2;0)\) và \((0;2)\), và có hình dạng của một hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất có đạo hàm dương. Do đó, khẳng định b) là Đúng.

c) Gọi \(M,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = |f(x)|\) trên đoạn \(\left[ {\frac{3}{2};3} \right]\). Khi đó: \(2M + 2026m = 2027\).

Xét hàm số \(f(x) = \frac{{x - 2}}{{x - 1}}\) trên đoạn \(\left[ {\frac{3}{2};3} \right]\).

Ta có \(f'(x) = \frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}} > 0\) với mọi \(x \in \left[ {\frac{3}{2};3} \right]\).

Do đó, \(f(x)\) là hàm đồng biến trên đoạn \(\left[ {\frac{3}{2};3} \right]\).

Các giá trị của \(f(x)\) trên đoạn này là: \(f\left( {\frac{3}{2}} \right) = - 1\); \(f(3) = \frac{1}{2}\).

Vậy, trên đoạn \(\left[ {\frac{3}{2};3} \right]\), \(f(x) \in \left[ { - 1;\frac{1}{2}} \right]\).

Bây giờ xét hàm số \(y = |f(x)|\).

Khi \(f(x) \in \left[ { - 1;\frac{1}{2}} \right]\), giá trị của \(|f(x)|\) sẽ là:

Nếu \(f(x) = - 1\), thì \(|f(x)| = | - 1| = 1\). (Tại \(x = \frac{3}{2}\))

Nếu \(f(x) = 0\), thì \(|f(x)| = |0| = 0\). (Tại \(x = 2\))

Nếu \(f(x) = \frac{1}{2}\), thì \(|f(x)| = \left| {\frac{1}{2}} \right| = \frac{1}{2}\). (Tại \(x = 3\))

Do \(f(x)\) tăng từ \( - 1\) đến \(0\) rồi đến \(\frac{1}{2}\), nên \(|f(x)|\) sẽ giảm từ \(1\) xuống \(0\) (tại \(x = 2\)) rồi tăng lên \(\frac{1}{2}\) (tại \(x = 3\)).

Vậy, giá trị lớn nhất của \(|f(x)|\) trên đoạn \(\left[ {\frac{3}{2};3} \right]\) là \(M = 1\).

Giá trị nhỏ nhất của \(|f(x)|\) trên đoạn \(\left[ {\frac{3}{2};3} \right]\) là \(m = 0\).

Suy ra: \(2M + 2026m = 2(1) + 2026(0) = 2\). Vì \(2 \ne 2027\), khẳng định c) là Sai.

d) Đồ thị \((C)\) có đường tiệm cận ngang \(y = 1\) và đường tiệm cận đứng \(x = 1\).

Như đã phân tích ở câu b), hàm số \(f(x) = \frac{{x - 2}}{{x - 1}}\) có:

Tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = 1\).

Tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = 1\).

Do đó, khẳng định d) là Đúng.