Trong không gian với hệ toạ độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 0\\z = 4\end{array} \right.\) và điểm \(A\left( {0;6;4} \right)\). Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng thay đổi luôn chứa đường thẳng \(d\). Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(A\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\). Tính khoảng cách lớn nhất từ gốc toạ độ \(O\) đến điểm \(H\).

Gọi \(M,N\) lần lượt là biến cố mô hình 1, mô hình 2 dự đoán đúng, ta có \(P\left( M \right) = 0,8;\,\,P\left( N \right) = 0,9.\)

Gọi \(A\) là biến cố trời mưa, ta có \(P\left( A \right) = 0,2;\,\,P\left( {\overline A } \right) = 0,8.\)

Gọi \(X,Y\) lần lượt là biến cố mô hình 1 dự đoán trời mưa, mô hình 2 dự đoán trời mưa.

a) Sai

Xác suất để mô hình 1 dự đoán sai là \[P\left( {\overline M } \right).P\left( {\overline N } \right) = 0,2.0,1 = 0,02.\]

b) Sai

Xác suất mô hình 1 dự đoán không mưa đúng là \(P\left( {\overline A .\overline X } \right) = P\left( {\overline A } \right).P\left( {\overline X |\overline A } \right) = 0,8.0,8 = 0,64.\)

Xác suất mô hình 2 dự đoán có mưa đúng là \(P\left( {A.Y} \right) = P\left( A \right).P\left( {Y|A} \right) = 0,2.0,9 = 0,18.\)

Suy ra trong trường hợp Mô hình 1 dự báo không mưa và Mô hình 2 dự báo có mưa, xác suất Mô hình 1 dự báo đúng cao hơn xác suất Mô hình 2 dự báo đúng.

c) Đúng

Xác suất để cả hai mô hình đều dự báo có mưa \(P\left( {XY} \right) = P\left( A \right).P\left( {XY|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {XY|\overline A } \right) = 0,2.0,8.0,9 + 0,8.0,1.0,2 = 0,16.\)

d) Đúng

Ta có \(P\left( {AXY} \right) = P\left( A \right).P\left( {X|A} \right).P\left( {Y|A} \right) = 0,2.0,8.0,9 = 0,144.\)

Ta có \(P\left( {AXY} \right) = P\left( {XY} \right).P\left( {A|XY} \right) \Rightarrow P\left( {A|XY} \right) = \frac{{P\left( {AXY} \right)}}{{P\left( {XY} \right)}} = \frac{{0,144}}{{0,16}} = 0,9.\)

Bồn hoa là hình phẳng giới hạn bởi parabol \(\left( P \right):y = - {x^2} + 4\) và trục hoành \(Ox\).

a) Sai.

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right):y = - {x^2} + 4\) và trục hoành \(Ox\) là \( - {x^2} + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 2\end{array} \right.\).

Diện tích toàn bộ bồn hoa (tổng diện tích trồng hoa hồng và trồng cỏ Nhật ) bằng:

\(S = \frac{2}{3}.d.h = \frac{2}{3}.4.4 = \frac{{32}}{3}\) (với \(d\) là độ dài đáy, \(h\) là chiều cao).

b) Sai.

Đường thẳng \(d:\,y = ax + b\) qua \(M\left( {0;1} \right) \Rightarrow b = 1\).

Nên \(d:y = ax + 1\).

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(d\) và parabol \(\left( P \right)\) : \( - {x^2} + 4 = ax + 1 \Leftrightarrow - {x^2} - ax + 3 = 0.\,\,\,\left( * \right)\)

Áp dụng định lý Vi – ét: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - a\\{x_1}.{x_2} = - 3\end{array} \right.\) .

c) Đúng.

Diện tích trồng hoa hồng là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol \(\left( P \right)\) và đường thẳng \(d\)có công thức tính nhanh \[{S_1} = \frac{{\left| { - 1.{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^3}} \right|}}{6}\]

Mà \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - a\\{x_1}.{x_2} = - 3\end{array} \right.\)

\[\begin{array}{l}{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = x_1^2 - 2{x_1}{x_2} + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = {a^2} + 12.\\ \Rightarrow \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \sqrt {{a^2} + 12} \end{array}\]

\[{S_1} = \frac{{\left| { - 1.{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^3}} \right|}}{6} = \frac{{{{\left| {{x_1} - {x_2}} \right|}^3}}}{6} = \frac{{{{\left( {\sqrt {{a^2} + 12} } \right)}^3}}}{6}\].

Dễ thấy \({S_{1\left( {\min } \right)}} \Leftrightarrow a = 0 \Rightarrow d:y = 1\).(song song với trục hoành).

d) Đúng.

Diện tích trồng hoa hồng gấp đôi diện tích trồng cỏ Nhật nên:

\({S_1} = 2\left( {S - {S_1}} \right) \Leftrightarrow 3{S_1} = 2S \Leftrightarrow {S_1} = \frac{2}{3}S \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {\sqrt {{a^2} + 12} } \right)}^3}}}{6} = \frac{2}{3}.\frac{{32}}{3} \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {\sqrt {{a^2} + 12} } \right)}^3}}}{6} = \frac{{64}}{9}\)

\[ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {{a^2} + 12} } \right)^3} = \frac{{128}}{3} \Leftrightarrow {a^2} = {\left( {\frac{{128}}{3}} \right)^{\frac{2}{3}}} - 12\].

Gọi \(A\left( {{x_1};a{x_1} + 1} \right),B\left( {{x_2};a{x_2} + 1} \right)\)

\(AB = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {a^2}{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2}\left( {1 + {a^2}} \right)} = \sqrt {{{\left( {\sqrt {{a^2} + 12} } \right)}^2}.\left( {1 + {a^2}} \right)} \)\(\)

\(AB = \sqrt {{{\left( {\frac{{128}}{3}} \right)}^{\frac{2}{3}}}.\left( {1 + {{\left( {\frac{{128}}{3}} \right)}^{\frac{2}{3}}} - 12} \right)} \approx 3,84\).

Vậy chiều dài của dải đèn LED xấp xỉ \(3,84\)mét (làm tròn đến hàng phần trăm).