Biết rằng \(\left( P \right):y = a{x^2} - 4x + c\) có hoành độ đỉnh bằng \( - 3\) và đi qua điểm \(M\left( { - 2;1} \right)\). Tính tổng \(S = a + c\)

Sau một năm số lượng cá trong hồ là \(1000 + 1000x = 1000(1 + x)\) (con).

Sau hai năm số lượng cá trong hồ là \(1000(1 + x) + 1000(1 + x)x = 1000{(1 + x)^2}\) (con).

Điều kiện \(x > 0\). Để số lượng cá trong hồ sau hai năm là 36000 thì ta có: \(1000{(1 + x)^2} = 36000 \Leftrightarrow {(1 + x)^2} = 36 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5}\\{x =  - 7\left( l \right)}\end{array}} \right.\)

Vậy tốc độ tăng thêm số lượng cá trong hồ sau mỗi năm là 5 lần số lượng cá ban đầu.

Parabol \(y = a{x^2} + bx + c\) đi qua điểm \(M(0;2)\) suy ra \(a{.0^2} + b.0 + c = 2 \Rightarrow c = 2.\) Mặt khác, đỉnh \(I\) của parabol có toạ độ là \((2; - 1)\) nên:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \frac{b}{{2a}} = 2}\\{a \cdot {2^2} + b \cdot 2 + 2 =  - 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{b =  - 4a}\\{4a + 2b =  - 3}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{3}{4}}\\{b =  - 3}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Vậy parabol cần tìm là \(y = \frac{3}{4}{x^2} - 3x + 2\).