Cho tam thức bậc hai \(y = f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) có \(\Delta  < 0\). Giá trị của \(a\) để biểu thức luôn dương là

Ta đặt các kích thước của hàng rào như hình vẽ (với \[x,\,y > 0\] và có đơn vị \[m\])

Khi đó chi phí để trả cho nguyên vật liệu làm hàng rào là: \[3x.50000 + 2y.60000 = 15000000\]

\[ \Leftrightarrow 15x + 12y = 1500\] \[ \Rightarrow y = \frac{{500 - 5x}}{4}\].

Diện tích của khu vườn sau khi được rào lại là \[S = x.2y = 2x.\frac{{500 - 5x}}{4} = \frac{1}{2}\left( { - 5{x^2} + 500x} \right)\].

Ta có \[S = \frac{1}{2}\left( { - 5{x^2} + 500x} \right) = \frac{5}{2}\left( { - {x^2} + 2.50x - 2500 + 2500} \right)\].

\[ \Leftrightarrow S = \frac{5}{2}\left[ {2500 - {{\left( {x - 50} \right)}^2}} \right] \le 6250\].

Vậy diện tích khu vườn lớn nhất là \[6250\,{m^2}\]\[ \Leftrightarrow x = 50\].

Vi \({m^2} + 2 > 0\) nên yêu câu bài toán \( \Leftrightarrow \left( {{m^2} + 2} \right){x^2} - 2(m + 1)x + 1 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\Delta ^\prime } < 0}\\{a > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{(m + 1)}^2} - \left( {{m^2} + 2} \right) < 0}\\{{m^2} + 2 > 0}\end{array} \Leftrightarrow {{(m + 1)}^2} - \left( {{m^2} + 2} \right) < 0} \right.} \right.\\ \Leftrightarrow 2m < 1 \Leftrightarrow m < \frac{1}{2}{\rm{.}}\end{array}\)

Vậy \(m < \frac{1}{2}\) thỏa mãn