Cho tam giác \(ABC\) có \(AB < AC\) và \(AD\) là tia phân giác của góc \(A\,\,\left( {D \in BC} \right)\). Gọi \(E\) là một điểm bất kì nằm trên cạnh \(AD\,\,\left( {E \ne A} \right)\). Trên cạnh \(AC\) lấy điểm \(F\) sao cho \(AB = AF\). Khi đó:

a) Sai.

Xét \(\Delta AMI\), theo bất đẳng thức tam giác, ta có: \(MA < MI + IA\).

Do đó, ý a) sai.

b) Đúng.

Từ \(MA < MI + IA\), cộng hai vế với \(MB\), ta có:

\(MA + MB < MI + IA + MB\) hay \(MA + MB < IB + IA\).

Do đó, ý b) đúng.

c) Đúng.

Xét \(\Delta IBC\), theo bất đẳng thức tam giác, ta có: \(IB < BC + CI.\)

Do đó, \(IB + IA < CA + CB\).

Do đó, ý c) đúng.

d) Đúng.

Ta có: \(MA + MB < IB + IA\) và \(IB + IA < CA + CB\) suy ra \(MA + MB < CA + CB.\)

Do đó, ý d) đúng.

a) Đúng.

Xét \(\Delta ABK\), có: \(AB < AK + BK\).

Xét \(\Delta MBK\), có: \(BK < KM + BM\).

Xét \(\Delta ABM,\) có: \(AB < AM + BM\).

Do đó, ta có: \(AB < AK + BK < AK + KM + BM = AM + BM\).

Vậy \(KA + KB < MA + MB\).

b) Đúng.

Xét \(\Delta ABC,\) có: \(AB < AC + BC\).

Xét \(\Delta AMC,\) có: \(AM < MC + AC\).

Do đó, ta có: \(AB < AM + BM < MC + AC + BM = AC + BC\).

Vậy \(MA + MB < CA + CB.\)

c) Đúng.

Theo bất đẳng thức về cạnh trong tam giác, ta chứng minh được:

\(BC < KB + KC < KB + KN + NC < BN + NC < AB + AN + NC < AB + AC\).

Do đó \(KB + KC < AB + AC\).

d) Sai.

Tương tự, ta chứng minh được \(KA + KC < BA + BC\). (1)

Từ đó, ta có: \(KB + KC < AB + AC\); (2)

\(KA + KB < MA + MB\); (3)

Cộng theo vế (1), (2), (3) ta có: \[2\left( {KA + KB + KC} \right) < 2\left( {AC + BA + BC} \right)\].

Do đó \[KA + KB + KC < AC + BA + BC\] hay \(KA + KB + KC < {P_{ABC}}\).