Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) có hai đường trung tuyến \(BD\) và \(CE\) cắt nhau tại \(G\). Biết \(BD = CE\). Khi đó:
A. \(G\) là trọng tâm \(\Delta ABC\).
Đúng
Sai
B. \(\Delta GBC\) là tam giác cân.
Đúng
Sai
C. \(DG + EG = \frac{1}{2}\left( {BG + CG} \right)\)
Đúng
Sai
D. \(DG + EG < \frac{1}{2}BC\).
Đúng
Sai
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Đúng.
Vì hai trung tuyến \(BD\) và \(CE\) cắt nhau tại \(G\) nên \(G\) là trọng tâm \(\Delta ABC\).
b) Đúng.
Vì \(G\) là trọng tâm \(\Delta ABC\) nên \(BG = \frac{2}{3}BD;CG = \frac{2}{3}CE\) (tính chất trọng tâm tam giác)
Mà \(BD = CE\) (giả thiết) nên \(\frac{2}{3}BD = \frac{2}{3}CE\) hay \(BG = CG\).
Suy ra tam giác \(GBC\) là tam giác cân.
c) Đúng.
Ta có: \(BG = \frac{2}{3}BD\) nên \(DG = \frac{1}{3}BD\) do đó \(BG = 2DG\) hay \(DG = \frac{1}{2}BG.\)
Lại có \(CG = \frac{2}{3}CE\) nên \(GE = \frac{1}{3}CE\) do đó \(CG = 2CE\) hay \(CE = \frac{1}{2}CG\).
Mà \(BG = CG\) (cmt) nên \(DG = EG\).
Ta có: \(DG + EG = \frac{1}{2}BG + \frac{1}{2}CG = \frac{1}{2}\left( {BG + CG} \right)\).
d) Sai.
Xét tam giác \(GBC\) có \(BG + CG > BG\) (trong một tam giác tổng độ dài hai cạnh lớn hơn độ dài cạnh còn lại).
Vậy \(DG + EG > \frac{1}{2}BC\) (đpcm).
Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. \(\Delta ABC = \Delta ACE\).
Đúng
Sai
B. \(M\) là trọng tâm của tam giác \(BEC\).
Đúng
Sai
C. Ba điểm \(E,\,\,M,\,\,K\) thẳng hàng.
Đúng
Sai
D. \(\Delta BEC\) cân tại \(E.\)
Đúng
Sai
Lời giải
a) Sai.
Xét \(\Delta ABC\)và \(\Delta AEC\), có:
\(AC\) là cạnh chung.
\(AB = AE\) (\(A\) là trung điểm \(BE\)).
\(\widehat {BAC} = \widehat {CAE} = 90^\circ \).
Do đó \(\Delta ABC = \Delta AEC\) (c.g.c)
b) Đúng.
Tam giác \(BCE\) có \(BH,\,\,CA\) là các đường trung tuyến.
Mà \(BH\) cắt \(AC\) tại \(M.\)
Do đó \(M\) là trọng tâm của tam giác \(BEC.\)
c) Đúng.
Ta có \(K\) là trung điểm của \(BC.\)
Suy ra \(EK\) là đường trung tuyến thứ ba của tam giác \(EBC.\)
Khi đó \(M \in EK\) hay ba điểm \(E,\,\,M,\,\,K\) thẳng hàng.
d) Đúng.
Nhận thấy \(AC\) vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến trong tam giác \(ECB\) nên \(\Delta BEC\) cân tại \(C\).
Câu 2
A. \(D\) là trung điểm của \(EF.\)
Đúng
Sai
B. \(G\) là trọng tâm của \(\Delta EFC\).
Đúng
Sai
C. \(\frac{{GC}}{{DC}} = \frac{1}{2}.\)
Đúng
Sai
D. \(\frac{{GE}}{{GK}} = 2.\)
Đúng
Sai
Lời giải
a) Đúng.
Ta có: \(BF = 2BE\) suy ra \(BE = EF.\)
Mà \(BE = 2ED\) nên \(EF = 2ED.\)
Do đó, \(D\) là trung điểm của \(EF.\)
b) Đúng.
Vì \(D\) là trung điểm của \(EF\) nên \(CD\) là đường trung tuyến của tam giác \(EFC\).
Vì \(K\) là trung điểm của \(CF\) nên \(EK\) là đường trung tuyến của \(\Delta EFC\).
Vì \(\Delta EFC\) có hai đường trung tuyến \(CD\) và \(EK\) cắt nhau tại \(G\) nên \(G\) là trọng tâm của \(\Delta EFC\).
c) Sai.
Vì \(G\) là trọng tâm của \(\Delta EFC\) nên \(\frac{{GC}}{{DC}} = \frac{2}{3}\) và \(GE = \frac{2}{3}EK\).
d) Đúng.
Có \(GE = \frac{2}{3}EK\) nên \(GK = \frac{1}{3}EK\) nên \(GE = 2GK\). Do đó, \(\frac{{GE}}{{GK}} = 2.\)
Câu 3
A. \(I\) là trọng tâm của \(\Delta HKC\).
Đúng
Sai
B. \(E\) là trung điểm của \(HC.\)
Đúng
Sai
C. \(\frac{{IE}}{{IK}} = 2.\)
Đúng
Sai
D. \(\frac{{MI}}{{AC}} = \frac{1}{6}.\)
Đúng
Sai
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. \(I\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).
Đúng
Sai
B. \(DI = 2BI\).
Đúng
Sai
C. \(DI = DK\).
Đúng
Sai
D. \(BI = IK > KE\).
Đúng
Sai
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập