Cho tam giác \(ABC\), các đường phân giác xuất phát từ đỉnh \(B\) và \(C\) cắt nhau tại \(I\). Biết \(\widehat {BIC} = 120^\circ \). Khi đó số đo của góc \(\widehat {BAC}\) bằng bao nhiêu độ?

a) Sai.

Xét \(\Delta ABC\)và \(\Delta AEC\), có:

\(AC\) là cạnh chung.

\(AB = AE\) (\(A\) là trung điểm \(BE\)).

\(\widehat {BAC} = \widehat {CAE} = 90^\circ \).

Do đó \(\Delta ABC = \Delta AEC\) (c.g.c)

b) Đúng.

Tam giác \(BCE\) có \(BH,\,\,CA\) là các đường trung tuyến.

Mà \(BH\) cắt \(AC\) tại \(M.\)

Do đó \(M\) là trọng tâm của tam giác \(BEC.\)

c) Đúng.

Ta có \(K\) là trung điểm của \(BC.\)

Suy ra \(EK\) là đường trung tuyến thứ ba của tam giác \(EBC.\)

Khi đó \(M \in EK\) hay ba điểm \(E,\,\,M,\,\,K\) thẳng hàng.

d) Đúng.

Nhận thấy \(AC\) vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến trong tam giác \(ECB\) nên \(\Delta BEC\) cân tại \(C\).

a) Đúng.

Ta có: \(BF = 2BE\) suy ra \(BE = EF.\)

Mà \(BE = 2ED\) nên \(EF = 2ED.\)

Do đó, \(D\) là trung điểm của \(EF.\)

b) Đúng.

Vì \(D\) là trung điểm của \(EF\) nên \(CD\) là đường trung tuyến của tam giác \(EFC\).

Vì \(K\) là trung điểm của \(CF\) nên \(EK\) là đường trung tuyến của \(\Delta EFC\).

Vì \(\Delta EFC\) có hai đường trung tuyến \(CD\) và \(EK\) cắt nhau tại \(G\) nên \(G\) là trọng tâm của \(\Delta EFC\).

c) Sai.

Vì \(G\) là trọng tâm của \(\Delta EFC\) nên \(\frac{{GC}}{{DC}} = \frac{2}{3}\) và \(GE = \frac{2}{3}EK\).

d) Đúng.

Có \(GE = \frac{2}{3}EK\) nên \(GK = \frac{1}{3}EK\) nên \(GE = 2GK\). Do đó, \(\frac{{GE}}{{GK}} = 2.\)