Cho đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( { - 4;1} \right)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta :\,\,3x - 4y + 1 = 0\). Hãy xác định bán kính \(R\) của đường tròn \(\left( C \right)\).

Vì điểm \(A(2; - 1)\) nằm ở góc phần tư thứ tư của hệ trục tọa độ và đường tròn tiếp xúc với hai trục toạ độ nên tâm của đường tròn có dạng \(I(R; - R)\) trong đó \(R\) là bán kính đường tròn \((C)\).

Ta có: \({R^2} = I{A^2} \Leftrightarrow {R^2} = {(2 - R)^2} + {( - 1 + R)^2} \Leftrightarrow {R^2} - 6R + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{R = 1}\\{R = 5}\end{array}} \right.\).

Vậy có hai đường tròn thoả mãn đề bài là: \({(x - 1)^2} + {(y + 1)^2} = 1\); \({(x - 5)^2} + {(y + 5)^2} = 25\).

Gọi \(I(a;b)\) là tâm đường tròn \(\left( {{C^\prime }} \right)\). Ta có: \(I \in (C) \Leftrightarrow {(a - 2)^2} + {b^2} = \frac{4}{5}\).

Đường tròn \(\left( {{C^\prime }} \right)\) tiếp xúc với hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\)

\( \Leftrightarrow d\left( {I,{d_1}} \right) = d\left( {I,{d_2}} \right) = R \Leftrightarrow \frac{{|a - b|}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{|a - 7b|}}{{\sqrt {50} }} \Leftrightarrow 5|a - b| = |a - 7b|\)

\( \Leftrightarrow a = \frac{{ - 1}}{2}b\) hoặc \(a = 2b\).

- \(a = \frac{{ - 1}}{2}b \Rightarrow {\left( {\frac{{ - 1}}{2}b - 2} \right)^2} + {b^2} = \frac{4}{5} \Leftrightarrow \frac{5}{4}{b^2} + 2b + \frac{{16}}{5} = 0\) (vô nghiệm).

- \(a = 2b \Rightarrow {(2b - 2)^2} + {b^2} = \frac{4}{5} \Leftrightarrow 5{b^2} - 8b + \frac{{16}}{5} = 0 \Leftrightarrow b = \frac{4}{5}\).

Suy ra \(a = \frac{8}{5},R = \frac{{2\sqrt 2 }}{5}\).

Vậy đường tròn (C') có phương trình là: \({\left( {x - \frac{8}{5}} \right)^2} + {\left( {x - \frac{4}{5}} \right)^2} = \frac{8}{{25}}\).